Rechenfehler beim Bestimmen der Schnittgerade zweier Ebenen

Question

Aufgabe:

Schnittgerade bestimmen von $$e_1:\ 15=-2x_1-4x_2{-1x}_3 $$ und $$ \mathrm{e}_{2} : \vec{\mathrm{x}}=\left( \begin{array}{r}{-\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{r} \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{14}{3}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot \left( \begin{array}{r}{\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {-14}\end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass das Ergebnis falsch ist. Aber wo habe ich mich verrechnet? Habe die Rechnung schon mehrmals überprüft.

$$ e_{1} : 15=-2 x_{1}-4 x_{2}-1 x_{3} $$

$$ \mathrm{e}_{2} : \vec{\mathrm{x}}=\left( \begin{array}{r}{-\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{r} \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{14}{3}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{s} \cdot \left( \begin{array}{r}{\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {-14}\end{array}\right) $$

e2 (PF) in e1 (KF):

$$ \begin{array}{l}{15=-2\left(-\frac{14}{3}+r \cdot \frac{14}{3}+s \cdot \frac{14}{3}\right)-4\left(\mathrm{r} \cdot \frac{14}{9}\right)-1(\mathrm{s} \cdot[-14])} \\ {=\frac{28-28 \mathrm{r}-28 \mathrm{s}}{3}-\frac{56 \mathrm{r}}{9}+14 s}\end{array} $$

$$ =\frac{84-84 \mathrm{r}-56 \mathrm{r}-84 \mathrm{s}+126 \mathrm{s}}{9}=\frac{84-140 \mathrm{r}+42 \mathrm{s}}{9}|-15=>0=-51-140 \mathrm{r}+42 \mathrm{s} $$

$$ =>\mathrm{r}=0.3 \mathrm{s}-\frac{51}{140} \quad \mathrm{s}=\frac{10}{3} \mathrm{r}+\frac{17}{14} $$

s in e2(PF):

$$ \vec{x}=\left( \begin{array}{r}{-\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+r \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{14}{3}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {0}\end{array}\right)+\left(\frac{10}{3} r+\frac{17}{14}\right) \cdot \left( \begin{array}{r}{\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {-14}\end{array}\right) $$

$$ =\left( \begin{array}{r}{-\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+r \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{14}{3}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {0}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}{\frac{140}{9} \mathrm{r}+\frac{119}{6}} \\ {0+0} \\ {-\frac{140}{3} \mathrm{r}-17}\end{array}\right) $$

$$ =\left( \begin{array}{r}{-\frac{14}{3}} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}{\frac{119}{6}} \\ {0} \\ {-17}\end{array}\right)+r \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{14}{3}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {0}\end{array}\right)+\mathbf{r} \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{140}{9}} \\ {0} \\ {-\frac{140}{3}}\end{array}\right) $$

$$ =>g : \vec{x}=\left( \begin{array}{r}{\frac{91}{6}} \\ {0} \\ {-17}\end{array}\right)+r \cdot \left( \begin{array}{c}{\frac{182}{9}} \\ {\frac{14}{9}} \\ {-\frac{140}{3}}\end{array}\right) $$

Der Richtungsvektor stimmt glaube ich, der Stützvektor aber nicht.

Könnte mir jemand helfen, den Fehler zu finden?

Answer 1

unter  s in e2(PF):

hinten:    17/14 * 14/3 = 17/3  ≠  119/6

Gruß Wolfgang

Answer 2

Nur mal als Anmerkung.

Du hast die Koordinatenform in die Parameterform umgewandelt. Ich hatte ja schon erwähnt das es geschickter ist diese mit Ganzzahligen Vektoren aufzustellen. Das hätte dir in der obigen Rechnung viel Arbeit erspart. Du brauchst aber um eine Schnittgerade zu bestimmen nicht eine Koordinatenform in eine Parameterform umwandeln.

E1: 2x + 4y + z = -15
E2: 3x - 9y + z = -14

E2 - E1

x - 13·y = 1 → x = 13·y + 1

2(13·y + 1) + 4y + z = -15 → z = - 30·y - 17

Eine Lösung ist also

[13·y + 1, y, - 30·y - 17] = [1, 0, -17] + y·[13, 1, -30]

Damit ist also die Schnittgerade

X = [1, 0, -17] + r·[13, 1, -30]

Und das ist jetzt wesentlich einfacher als erst noch eine Parameterform zu erstellen.