Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden Unterraum

Question

Aufgabe:

Es sei λ ein Eigenwert eines linearen Operators T auf dem Vektorraum V. Sei V_λ die
Menge aller Eigenvektoren, die zum Eigenwert λ gehören. Zeige mit dem
Unterraumkriterium , dass V_λ∪{0} einen Unterraum von V bildet.

Definitionen

Unterraumkriterium - Eine Teilmenge W eines Vektorraum V ist genau dann linearer Teilraum von V, wenn gilt:

1) W ≠ ∅

2) Für alle w1,w2 ∈ W: w1+w2 ∈ W

3) Für λ ∈ R und w ∈ W : λw ∈ W

4) Für alle w1,w2 ∈ W und λ1,λ2 ∈ R: λ1w1 + λ2w2 ∈ W

Ansatz:

1) 0 ∈ Vλ∪{0}, weil 0 ∈ {0} --> Vλ∪{0}  ≠ ∅

2) mit Hilfe der Definition von Eigenvektoren

(T-λEn)*w1 = 0

(T-λEn)*w2 = 0

______________

(T-λEn)*w1 + (T-λEn)*w2 = 0

(T-λEn)*(w1+w2) = 0 

--> w1+w2 ∈ Vλ∪{0}

3) Sei μ ∈ R , mit Hilfe der Definition von Eigenvektoren

(T-λEn)*w = 0      /*μ

(T-λEn)*w*μ = 0

--> μw ∈ Vλ∪{0}

4) mithilfe von der Definition von Eigenvektoren und  μ1, μ2  ∈ R

(T-λEn)*w1*μ1= 0

(T-λEn)*w2*μ2=0

______________

(T-λEn)*w1*μ1+(T-λEn)*w2*μ2= 0

(T-λEn)*(w1*μ1+w2*μ2)= 0

--> (w1*μ1+w2*μ2) ∈ Vλ∪{0}

Stimmt das so, die Anwendung oder gibt es Fehler bei der Überlegung?

Answer 1

Hallo

 der Beweis ist in Ordnung.

Gruß lul