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Ich möchte einen sauberen Beweis schaffen der komplett 100% sauber ist. Ich habe dazu einen Wikipedia Artikel gefunden, denn ich aber nicht verstehe.

Unter Beispiele steht  es mit f(x) = x²

https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion


Was klar ist, ist die dritte binomische Formel und die generellen Bedingungen von Monotonie. Den Rest verstehe ich nicht.

Man sieht z.b folgendes

"x<y <= 0 so ist x-y < 0 " Wie kommt man darauf bzw. Was war die Absicht dahinter ?

Noch eine kleine Frage : Stimmt das folgende ?

Ist f(x) = x²-2 für x€ [2;3] streng monoton wachsend?

Meine Lösung :

f'(x) = 2x > 0 ⇒ x< y ⇒ f(x) < f(y)

Danke.

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\(x^2\) ist auf dem Intervall \(]-\infty , 0]\) nicht streng monoton wachsend.

Verbessert, mein Fehler.

1 Antwort

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f(x) = x^2

Bei Polynomfunktionen ändert sich die Monotonie an den Extremstellen. Polynome haben weiterhin immer eine strenge Monotonie. Ausnahme sind die Polynome Nullten Grades.

Da f bei x = 0 einen Tiefpunkt hat ist f im Intervall ]-∞; 0] streng monoton fallend und im Intervall [0; ∞[ streng monoton steigend.

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Das wäre auch nicht mein Problem mit der Monotonieuntersuchung. Bei dem bestimmen ob es (streng) monoton steigend/fallend ist, hierbei wird es für mich problematisch. Der Ersteller dieses Beweises muss doch irgendwie darauf gekommen sein.

Was soll mir x<y<= 0 oder x-y < 0 sagen?

Es für zwei Werte x, y mit x < y aus dem Intervall ]-∞ ; 0], dass f(x) > f(y). Damit ist die Funktion im Intervall ]-∞ ; 0] streng monoton fallend.

Die Aussage

Ist f(x) = x²-2 für x€ [2;3] streng monoton wachsend?

ist zwar richtig, aber das ist nicht das größte Intervall. Man kann sogar sagen

f(x) = x² - 2 ist im Intervall [0; ∞[ streng monoton steigend.

Okay, aber ich verstehe leider immer noch nicht was mir x-y<0 und x+y<0 sagen soll. Das größte Problem habe ich bei x²>f(y) = y².

x < y ist erstmal umformbar zu x - y < 0. Das sagt beides das gleiche aus.

Nun muss gelten

f(x) > f(y)

x^2 > y^2

|x|^2 > |y|^2

|x| > |y|

und das gilt wenn x < y <= 0 ist oder nicht?

Du kannst auch sagen

y <= 0 und x = y - h mit h > 0

also

f(x) > f(y)

f(y - h) > f(y)

(y - h)^2 > y^2

y^2 - 2yh + h^2 > y^2

h^2 - 2yh > 0

h(h - 2y) > 0

h - 2y > 0

h > 2y

h ist immer positiv und da y <= 0 gilt ist die rechte Seite maximal 0. Also ist das immer erfüllt.

Ich werde es mir mal zur ruhigen Minute anschauen. Danke mit wedelnden Hut.

Ich glaub ich habe es jetzt. Ich habe es jetzt an dieser Aufgabe versucht:

Ist f(x) = e^x für x ∈ [0;∞) streng monoton wachsend?

Lösung :

Es ist 0 ≤ x < y dann ist x - y < 0 bzw. y - x < 0. Sei auch f(x) = e^x < f(y) = e^y was äquivalent zu e^x-e^y < 0 ist, aber es ist e^x > 0 und e^y > 0 also ist f auf dem Intervall streng monoton wachsend.

Stimmt dieser Beweis?

Ist f(x) = ex für x ∈ [0;∞) streng monoton wachsend?

f(x) = e^x ist streng monoton Wachsend auf ganz R.

f'(x) = e^x > 0 → streng monoton wachsend.

Ich weiß, dass ja, ich wollte nur diese Beweismethode konkret üben. Wie würde denn der Beweis für z.b f(x) = e^(x²-x) mit x ∈ [1,2] (streng monoton) aussehen?

Mit Ableitung ist das ja nicht schwer :

f'(x) = e^(x²-x)*(2x-1) hier ist e^(x²-x) > für x∈ℝ  und (2x-1) > 0 für x ∈ [1,2] daher

ist f'(x) > 0 → streng monoton wachsen

Aber mit Beweis ohne Ableitung?

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