Wie geht diese ganzrationale Funktion?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine definierte ganzrationale Funktion f zweiten Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft und eine Tangente an den Graphen mit der Steigung -1 im Punkt P(1/0) besitzt.

Bestimmen Sie eine Gleichung für f

Problem/Ansatz:

Wie geht es?

Answer 1

allg. Form: \(f(x)=ax^2+bx+c,\; f'(x)=2ax+b\)

Graph durch den Ursprung verläuft

\(f(0)=0 \longrightarrow a\cdot 0^2+b\cdot 0 +c=0 \rightarrow c=0\)

Steigung -1 im Punkt P(1/0)

\(f'(1)=-1 \longrightarrow 2a\cdot 1 +b =-1 \rightarrow 2a+b=-1\)

Punkt P(1/0)

\(f(1)=0 \longrightarrow a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 0=0 \rightarrow b=-a\)

Eingesetzt von b erhalten wir: \(2a+(-a)=-1 \rightarrow a=-1\) und somit \(b=-(-1) \rightarrow b=1\)

Die FG lautet demnach: \(f(x)=-x^2+x\)