Vektorgeometrie: Lichtstrahl wird an Pyramide reflektiert

Question

Aufgabe: 

Von der Spitze S (4/5/8) der Pyramide geht ein Lichtstrahl aus und wird im Punkt P(2/4/0) an der Ebene E (X + 2y+ 3z) = 16 reflektiert. Berechnen sie die Gleichung der Geraden des reflektierten Lichtstrahls. Hat jemand Tipps wie man diese Aufgabe berechnen kann? Bitte Ich brauche Hilfe.

Comments

Kannst du die Quelle der Aufgabe nachreichen?

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P inzidiert nicht mit der Ebene.

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Es gibt hier eine Anzahl "ähnliche Fragen". Bsp. https://www.mathelounge.de/331545/lichtstrahl-wird-an-einer-ebene-re…

Answer 1

machen wir uns ein Bild:

 

(klick auf das Bild und drehe die Szene mit der Maus)

Der Lichtstrahl von $S$ aus in Richtung $P$ ist gelb, seine Reflexion rot gezeichnet. Der blaue Vektor ist der Normalenvektor $n$ der Ebene $E: \, x + 2y+ 3z = 16$.

Zur Spiegelung von $S$ berechnet man zunächst den Abstand $e$ von $S$ zur Ebene $E$. Es ist$$e = \frac 1{|n|} \left( n S - d \right)$$Nach Deinen Angaben ist$$n = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \quad d = 16, \quad S = \begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 8\end{pmatrix}$$Der Spiegelpunkt $S'$ von $S$ an $E$ ist dann $$S' = S - 2e \frac n{|n|} = S - \frac 2{n^2}\left(n S - d \right)n = \frac 17 \begin{pmatrix} 6\\ -9\\ -10\end{pmatrix}$$Da $P$ nicht in $E$ liegt, muss man noch den Schnittpunkt $Q$ der Geraden durch $S$ und $P$ mit der Ebene $E$ bestimmen. Dazu setzt man die Geradengleichung$$g: \space x = S + (P-S)t$$ in die Ebenengleichung ein $$E: \space n x = d \\ n \left( S + (P-S)t_Q \right) = d \\ \implies t_Q= \frac{d-nS}{n(P-S)}$$Einsetzen in die Geradengleichung gibt den Schnittpunkt $Q$$$Q = S + (P-S) t_Q = \frac 1{14}\begin{pmatrix} 34\\ 59\\ 24\end{pmatrix}$$Die Gerade durch $S'$ und $Q$ ist die gesuchte Reflexion des Lichtstrahl.

Answer 2

Hallo

 falls du irgendwann die richtige Ebene und Punkt hast, spiegle S an der Ebene, von S die senkrechte auf die Ebene fällen  ergibt SQ und verlängern SQ verlängern bis R so dass RQ=SQ oder RS=2SQ dann eine Gerade durch P und S, das ist der Reflektierte Strahl (Grund: das Spiegelbild lieg im selben Abstand hinter dem Spiegel, wie der Gegenstand hier S vor dem Spiegel.

Gruß lul

Comments

Was meinst du mit Q & R? Ich komme nicht so gut draus. Also zuerst muss ich S an der Ebene spiegeln & dann?

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Zuerst spiegelst du S an der Ebene und erhältst Punkt R.

Dann stellst du die Gerade durch R und P auf. Das ist die Gerade des Reflektierten Lichtstrahls.

g: X = P + r * RP

Du solltest oben noch die richtigen Angaben der Aufgabe zur Verfügung stellen. Mit obigen Werten wirst du nie auf eine korrekte Lösung kommen.