0 Daumen
1,1k Aufrufe

Aufgabe: bestimmen Sie die folgenden Werte: cos(-120°), sin(-120°), tan(-120°)


Problem/Ansatz: wie bestimmt man einen Wert?


Vielen Dank schon einmal im Voraus!

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo Mary,

Du solltest Dir immer eine Skizze machen:

Skizze1.png

Zeichnet man die 120° in den (Einheits)kreis so kann man das gleichseitige Dreieck \(\triangle YOA\) einzeichnen. In diesem Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel betragen 60°. Und 60° ist der Nebenwinkel zu 120° hier aus der Aufgabe.

Die Werte für den Sinus (gelb) und den Cosinus (rot) kann man mehr oder weniger aus der Skizze ablesen. Da die Linie durch \(XY\) das gleichseitige Dreieck halbiert, ist \(|XO|=1/2\) (Bem.: hier ist \(r=1\)) Und \(|XY|\) berechnet sich nach Pythagoras:$$|XY|^2 + |XO|^2 = 1 \implies |XY| = \frac 12 \sqrt 3$$Jetzt achte noch auf die Vorzeichen - nach unten und nach links sind die Längen negativ zu zählen - also ist:$$\sin (-120°) = -|XY| = -\frac 12 \sqrt 3 \\ \cos(-120°) =- |XO| = -\frac 12$$Und der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus:$$\tan (-120°) = \frac {\sin(-120°)}{\cos(-120°)} = \frac{-|XY|}{-|XO|} = \sqrt 3$$

Vielleicht fällt Dir jetzt auf, dass bei Deinen Aufgabe immer dieses halbe gleichseitige Dreieck vorkommt!

Wie berechnet man einen Winkel mit einem Punkt aus dem Koordinatensystem?

hier liegt es so:

Skizze2.png

Wie bestimmt man Polarkoordinaten und was sind die überhaupt?

und hier liegt es so:

Skizze3.png

es ist also immer das gleiche Dreieck. Und die Aufgaben lassen sich alle auf die selbe Art und Weise mit Kenntnis über diese Dreieck lösen.

Gruß Werner

Avatar von 48 k
0 Daumen
Aufgabe: bestimmen Sie die folgenden Werte: cos(-120°), sin(-120°), tan(-120°)
Problem/Ansatz: wie bestimmt man einen Wert?


Indem man sich die Werte am Einheitskreis veranschaulicht und auf entsprechende Werte aus dem Intervall von 0° bis 90° zurückführt.

Avatar von 53 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community