Bedingungen an die Determinante und die Spur für Eigenwerte

Question

Aufgabe:

Let V be two-dimentional vectorspace \(R^2\) and f be the endomorphysm of V . Get the condition
on det(f) and tr(f) under which there exist eigenvalues of f.

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist. Ich weiss, dass die Spur die Summe der der Eigenwerte ist. Ich sehe trotzdem keine Bedingung

Answer 1

Die Eigenwerte sind die Lösungen von

det ( f - x*id) = 0

Wenn also f die Matrix hat

a   b
c   d

dann ist diese Determinante =

(a-x)*(d-x) - cd  =  x^2 - (a+d)x + (ad-cd)

bzw.     = x^2 - tr(f)*x + det(f) .

Und das gleich 0 gesetzt hat Lösungen

nur, wenn die Diskriminante nicht

negativ ist, also wenn gilt

    tr(f)^2 - 4 * det(f) ≥ 0    bzw

             tr(f)^2  ≥  4 * det(f)

Das ist wohl die gesuchte Bedingung.

Comments

Aber das sagt doch nur aus, dass die Eigenwerte real sind. Falls 4*det > trace ist, dann existieren die Eigenwerte doch auch, sind einfach Komplex

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Aber es war doch die Rede von ℝ^2 , da hatte ich mal interpretiert:

Alles nur reell.

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ok, also die Eigenwerte müssen im gleichen Raum V liegen? Das hatte ich übersehen