Den Wert einer unendlichen Reihe bestimmen mit hilfe von ∑1/(n2) = (π2)/6

Question

Aufgabe:$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1{(n+0,5)^2} = \, ?$$

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Reihe auf $\sum \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ zu reduzieren aber bin mit der Partialbruchzerlegung bzw. Linearfaktorzerlegung nicht weitergekommen.

Herzlichen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Forme erst mal um:

1/((n+0,5)²) =1 / ( (2n+1)/2 ) ² ) = 4 / (2n+1)²

Da alle Reihen konvergent sind, kann man Faktoren

herausziehen etc.

Dann wird die Reihe  ∑1/((n+0,5)2); n=0 bis ∞

zu    4 * ∑1/(2n+1)²; n=0 bis ∞ .

Betrachten wir erst mal ohne den Faktor 4:

Im Nenner stehen  die Quadrate aller ungeraden Zahlen.

Wenn man die Quadrate der geraden Zahlen dazu tut, hat man

die bekannte Reihe ∑1/(n²) = (π²)/6 .

Für die Reihe mit den  Quadraten der geraden Zahlen erhalte ich

 ∑1/((2n)²) = ∑    (1/4*1/(n)²   ) = (1/4) ∑ 1/(n)²  = (1/4)* (π²)/6

= (π²)/24 .

Also hat man   4 * (   ∑1/(2n+1)²     +   (π²)/24  )  = 4* ∑1/(n²) = (2/3)*(π²)

<=>   4 *   ∑1/(2n+1)²     +   (π²)/6   = (2/3)*(π²)

<=>   4 *   ∑1/(2n+1)²      = (2/3)*(π²) -   (π²)/6   =   (π²)/2

<=>       ∑1/(2n+1)²      =   (π²)/8

Oh, hab den Faktor 4 von oben vergessen !

Answer 2

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Summanden der Reihe ist das Quadrat des Quotienen zweier aufeinanderfolgener ungerader Zahlen. Die Quotientenfolge ist (1/3)², (3/5)², (5/7)², ....

Es geht also um die Summe $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{4/(2n+1)^2}$ =$\frac{π^2}{2}$ .