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 Aufgabe:

Berechnen Sie für n ∈ ℕ die Summe

S_{n} = ∑k=1^n k²   (über dem Summenzeichen n) 

Mit Hilfe der Teleskopsumme (a_{k} = k³), d. H. Ohne vollständige Induktion

von

teleskopsumme (a von k = k³)

Was soll das heißen ?

Summe mit welchem Index von wo bis wo

und worüber wird summiert ?

IMG_20181129_120902.jpgsorry, für die unverstandlichkeit

Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist etwas Kubisches. Man kann das mit einer Pyramide vergleichen. Daher vielleicht der Ansatz mit n^3 . Beweise mit vollständiger Induktion gibt es hier schon viele. Bsp. https://www.mathelounge.de/577082/beweis-per-vollstandigen-induktion-1-2-3-n-n-n-1-2n-1-6

1 Antwort

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Habe - glaube ich - verstanden was da gemacht werden soll:

Du sollst wohl folgende Teleskopsumme betrachten

$$s=\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k-1)^3 ) $$

Da bleibt ja nur n^3 übrig, weil sich alle anderen

Teile gegeneinander aufheben, also hast du

$$n^3 =\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k-1)^3 ) $$

und jetzt mal die Summanden vereinfachen, also

$$n^3 =\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k^3 -3k^2 + 3k -1)) =\sum \limits_{k=1}^{n}(3k^2 - 3k +1)) $$

Und da machst du jetzt drei Summen draus und hast

$$n^3 =3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2 -3*\sum \limits_{k=1}^{n}k+ \sum \limits_{k=1}^{n}1$$

Die letzte Summe besteht nur aus n Einsen, gibt also n und die

Summenformel für die Summe über k darfst du ja wohl verwenden, also hast du

$$n^3 =3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2 -3*\frac{n*(n+1)}{2}+n$$

Und das jetzt so umstellen, dass die Summe alleine steht gibt

$$\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}=3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2  $$

und wenn du jetzt noch durch 3 teilst, hast du die Formel.

von 152 k
Da bleibt ja nur \(n^3\) übrig, ...

bleibt dann nicht \(n^3+1\) übrig?

Das Ergebnis ist auch irgendwie nicht richtig - oder?

@Werner-Salomon: Warum n^3 + 1? mE kommt nur die Null nicht doppelt vor.

Ich meine schon, dass alles richtig ist.

Das Ergebnis findet man oft in der Form

n*(n+1)*(2n+1) / 6   =  (2n^3 + 3n^2 + n) / 6

@Lu: stimmt! habe mich von dem \(k=1\) zu sehr blenden lassen ...

Im Ergebnis ist noch eine \(2\) zu viel: $$\require{cancel} \frac{2n^3 + 3n^2 + \bbox[#ffff88, 2px]{\cancel{2}}n}{2}=3\cdot \sum \limits_{k=1}^{n}k^2$$ ich dachte im ersten Moment, es läge daran. Aber das ist nur ein Übertragungsfehler von der vorhergehenden Zeile.

Stimmt, ich werfe die 2 raus.

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