Habe ich diese Vektorenaufgabe richtig berechnet?

Question

Ich habe diese folgende Aufgabenstellung:
Die Punkte A(−3|4|1)B(5|−3|0) und C(0|7|4) sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC.

1. Flächeninhalt des Dreiecks ermitteln:

A=1/2|axb|

Vektor AB= 5−(−3)=8
(−3)−4=−7
0−1=−1


AC: 0+3=3
7−4=3
4−1=3

Kreuzprodukt von AB und AC bilden:

√ (−18)2+(−27)2+452= √3078 = 9√38

A= 1/2*9√38 = 9√38/2

2. Nachweis, dass Punkt A einen rechten Winkel besitzt

Vektor a=−3
4
1

Vektor b=5
−3
0

cos Alpha= (−3)⋅5+4⋅(−3)+1⋅0: Wurzel 2⋅ Wurzel 2

=−27: Wurzel 4=−13.5

cos Alpha −13.5=0,97
Alpha =97 °
Ist das richtig gerechnet?

Comments

Das erste ist richtig. Beim zweiten kannst du dir sicher denken das es verkehrt ist oder? Ich meine wenn du einen rechten Winkel nachweisen sollst der ja bekanntlich 90 Grad hat und du bekommst 97 Grad heraus, dann kann doch etwas nicht stimmen oder?

Du bestimmst den Winkel über die Richtungsvektoren und nicht über die Ortsvektoren.

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Vom Duplikat:

Titel: Punkt D eines Rechtecks ermitteln

Stichworte: vektoren

Die Punkte A (-3,4,1), B (5,-3,0) und C (0,7,4) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC.

Aufgabenstellung ist:

Die Punkte ABDC bilden ein Rechteck. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.

Dazu habe ich folgendes ermittelt:

AD = BC

d - a = c - b

d - (-3|4|1) = (0|7|4) - (5|-3|0)

d - (-3|4|1) = c und b zusammenrechnen: (-5|10|4) | + (-3|4|1)

d = (-8|14|5)

D (-8|14|5)

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Ich hatte schon bestätigt, dass dies richtig ist.

Bitte zugehörige Fragen auch immer in dem ersten Beitrag stellen.

Answer 1

a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck am Punkt A rechtwinklig ist.

AB = B - A = [8, -7, -1]
AC = C - A = [3, 3, 3]

AB·AC = [8, -7, -1]·[3, 3, 3] = 0

b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

A = 1/2·|AB|·|AC| = 1/2·√(8^2 + 7^2 + 1^2)·√(3^2 + 3^2 + 3^2) = 9/2·√38 = 27.74 FE

Comments

Vielen Dank.

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Beachte das ich die Aufgaben in umgekehrter Reihenfolge gelöst habe. Weißt du evtl warum das so günstiger ist?

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Die dritte Aufgabe lautet: Die Punkte ABCD bilden in dieser Orientierung ein Rechteck. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.

Dazu habe ich folgendes ermittelt:

AD = BC

d - a = c - b

d - (-3|4|1) = (0|7|4) - (5|-3|0)

d - (-3|4|1) = c und b zusammenrechnen: (-5|10|4) | + (-3|4|1)

d = (-8|14|5)

D (-8|14|5)

Könnte das stimmen?

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Ja das stimmt.

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Die letzte Aufgabe lautet: Eine Gerade g , die durch die Punkte B und C verläuft und eine Gerade h mit Der Gleichung: h : x =(-3,4,1) plus s (11,-4, 2)

schneiden sich im Punkt S.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S und den Schnittwinkel.

1) g ermitteln, Der durch Punkt B und C geht:

g: x= (5,-3, 0)  plus  t (-5, 10, 4)

2) g und h gleichsetzen:

(-5,-3, 0) plus t (-5,10,4) = (-3,4,1) plus s (11,-4,2) |-  (5,-3,0) | -(11,-4,2)

t (-5,10,4) plus s (-11,4,2) =  (-8,7,1) = (-3,4,1) - (5,-3,0) zusammenaddiert

Als LGS geschrieben:

-5 -11 -8

10 4  7

4 -2   1

Im TR eingegeben : 1 0 1/2

                                    0 1 1/2

                                     0 0 0

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S = [5, -3, 0] + r·[-5, 10, 4] = [-3, 4, 1] + s·[11, -4, 2] --> r = 0.5 ∧ s = 0.5

S = [5, -3, 0] + 0.5·[-5, 10, 4] = [2.5, 2, 2]

α = ACOS(ABS([-5, 10, 4]·[11, -4, 2])/(ABS([-5, 10, 4])·ABS([11, -4, 2]))) = 51.90°

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Ich habe den Schnittwinkel folgenderfolgendermaßen berechnet:

g: (5,-3,0) plus r (-5,10, 4)

h : (-3, 4, 1) plus s ( 11, -4, 2)

r x s: (11, -4, 2) * (-5,10,4)

a 1* a 2 = 11 * (-5) plus (-4) * 10 plus 2*4 = -87

a1: wurzel 141

a2: wurzel 141

alpha arcos= -87/ wurzel 141* wurzel 141 = -87: 141= 0.617 -> cos alpha (-0.671)= 128 grad

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Dein Ergebnis legt nahe das du den Nebenwinkel zu 180 Grad hast. Beim Schnittwinkel zwischen Geraden gibt man generell den kleineren der beiden Winkel an.

Du solltest also beim Skalarprodukt der Vektoren auch den Betrag nehmen.

ABS([-5, 10, 4]·[11, -4, 2]) = 87

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Vielen Dank für deine Hilfe.