Sei R ein Ring und a ∈ R. Zeigen Sie, dass (−1)a = −a = a(−1).

Question

Aufgabe:

Sei R ein Ring und a ∈ R. Zeigen Sie, dass (−1)a = −a = a(−1).

Problem/Ansatz:

also mein Ansatz wäre jetzt eigentlich nach Kommutativität zu beweisen, aber da es sich um einen Ring handelt, ist der doch bereits schon kommutativ oder? Also ist das doch klar, dass (−1)a = −a = a(−1). Meine Frage wär jetzt was genau ich tun muss.

Answer 1

also mein Ansatz wäre jetzt eigentlich nach Kommutativität zu beweisen, aber da es sich um einen Ring handelt, ist der doch bereits schon kommutativ oder?

Nicht jeder Ring ist kommutativ, betrachte z.B. Matrizenringe. Die Aussage gilt in beliebigen unitären (d.h. der Ring besitzt ein Einselement) Ringen.

Betrachte zuerst die Gleichung \((-1)a = -a\). Du sollst hier zeigen, dass die linke Seite dem additiv Inversen von a entspricht. Dazu weisen wir die Gleichheit \( a + (-1)a = 0 \) nach:

$$ a + (-1)a = 0 = 1\cdot a + (-1)a = (1 + (-1))a = 0\cdot a = 0 $$

Somit ist \( (-1)a \) das additiv inverse Element von a, also: \( -a = (-1)a \)

Analog von der anderen Seite:

$$ a + a\cdot (-1) = 0 = a\cdot 1 + a\cdot (-1) = a(1 + (-1)) = a\cdot 0 = 0 $$Es folgt, dass \( -a = a\cdot (-1)\).

Comments

Dankeschön für diese Antwort verstehe jetzt worin mein Fehler lag