a) ist ja wohl klar
b) Hier brauchst du eine Basis des Lösungsraumes von x2+x3+x4=0
Du wählst x3=s und x4=t beliebig und hast dann x2 = -s-t, also
x = ( 0 ; -s-t; s ; t ) ^T
= ( 0 ; -s ; s ; 0 ) ^T + ( 0 ; -t ; 0 ; t ) ^T
= s * ( 0 ; -1 ; 1 ; 0 ) ^T + t* ( 0 ; -1 ; 0 ; 1 ) ^T
Also hast du zwei Basisvektoren für U, die sind aber nicht
orthogonal (Skalarprodukt ist nicht 0) und musst zu ( 0 ; -1 ; 1 ; 0 ) ^T
einen von der Form ( 0 ; -s-t; s ; t ) ^T finden, der dazu
orthogonal ist. Das gibt s + t + s = 0 also
t = -2s also ist ( 0 ; 1 ; 1 ; 1 ) ^T der zweite.
noch normieren:
==> U = < ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) ^T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) ^T >
Für U^T musst du Basisvektoren finden, die zu beiden Basisvektoren
von U orthogonal sind, für die also gilt
-x2 + x3 = 0 und x2 + x3 + x4 = 0
==> 2x3 + x4 = 0 und 2x2 + x4 = 0
Also kann x1 beliebig sein und mit x4 = s folgt
x3= -s/2 und x4=-s/2 also
sind die Lösungen ( t , -s/2 ; -s/2 ; s )
Ein Basisvektor also ( 1;0;0;0 ) ^T und dazu orthogonal
( 0 ; 1 ; 1 ; -2 ) ^T
Den zweiten noch normieren gibt
U^T = < ( 1;0;0; 0 ) ^T + t* ( ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) ^T >.
Die Basis für c) ist also
< ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) T >
Für UT musst du Basisvektoren finden, die zu beiden Basisvektoren
von U orthogonal sind, für die also gilt
-x2 + x3 = 0 und x2 + x3 + x4 = 0
==> 2x3 + x4 = 0 und 2x2 + x4 = 0
Also kann x1 beliebig sein und mit x4 = s folgt
x3= -s/2 und x4=-s/2 also
sind die Lösungen ( t , -s/2 ; -s/2 ; s )
Ein Basisvektor also ( 1;0;0;0 ) T und dazu orthogonal
( 0 ; 1 ; 1 ; -2 ) T
Den zweiten noch normieren gibt
U^T = < ( 1;0;0; 0 ) T ; (0 ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) T >
Die Basis für c) ist also
{ ( 1;0;0; 0 ) T ; (0 ; 1/√6 ; 1/√6 ;-2/√6 ) T ; ( 0 ; -1/√2 ; 1/√2 ; 0 ) T + t* ( 0 ; 1/√3 ; 1/√3 ; 1/√3 ) T }
Die Koordinaten (a,b,c,d) liefert das Gl.system
1 0 0 0 1
0 1/√6 -1/√2 1/√3 1
0 1/√6 1/√2 1/√3 1
0 -2/√6 0 1/√3 1
Das gibt a=1 b=0 c=0 d=√3
