Wie zeige ich, dass f(A)∩f(B)=∅ mit A∩B=∅ wenn f injektiv ist?

Question

Seien $X,Y$ Mengen und $f: X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:

Zu zeigen ist: $f(A)∩f(B)=∅$ mit $A∩B=∅$ $\Longleftrightarrow$ $\text{f ist injektiv}$

Ich habe schon gezeigt, dass $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ ist, insofern $f$ injektiv ist.

Ansatz:

Für "$\Longleftarrow$" (Rückrichtung)

Sei $x\in A$ und $y\in B$. Da $f$ injektiv, gilt $f(x)\neq f(y) \Longrightarrow x\neq y$. Da aber $A\cap B$ disjunkt ist, kann es kein $x$ geben, das gleich $y$ ist. (reicht das bereits)?

Für "$\Longrightarrow$" (Hinrichtung)

Kein wirklicher Ansatz, nur, dass es nicht surjektiv sein kann, damit schon gar nicht bijektiv. Aber es gibt ja noch weder injektiv noch surjektiv.

Answer 1

Bei deiner Rückrichtung sagst du, dass A und B disjukt sind. Das sollst du aber zeigen. f ist injektiv, d.h., es gilt für alle a,b∈X die Eigenschaft f(a)≠f(b) mit a≠b. Betrachte nun O.B.d.A a∈A und b∈B mit f(a)∈f(A) und f(b)∈f(B). Was kannst du jetzt sagen?

Zur Hinrichtung. Wähle dir a,b∈X so, dass a∈A und b∈B z.B gilt. Wie kannst du dann weiter verfahren?

Comments

Irgendwie habe ich bei der Rückrichtung einen Hänger. Hinrichtung habe ich gecheckt.

---

Injektivität:Für alle a,b∈X gilt die Eigenschaft: f(a)≠f(b) mit a≠b.

f(A) und f(B) sind jetzt Teilmengen von Y, also in Zeichen f(A),f(B)⊆Y. Nun mache ich folgendes. Ich nehme mir alle f(a)∈Y und packe sie in f(A) und ich nehme alle f(b)∈Y und packe sie in f(B). Ich weiß, dass a≠b immer gilt. Wegen f(a)≠f(b) gilt f(A)≠f(B) also f(A)∩f(B)={} mit A∩B={}.