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Aufgabe:

R = reelle Zahlen

Gegegen seien:
V := R² und U := { (a, b) ∈ R²  | a² + b^4 = 0 }

Belegen oder widerlegen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist.


Problem/Ansatz:

ich sitze gerade an dieser Aufgabe.

Ich will beweisen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Bereits gezeigt habe ich, dass U nicht leer sein kann.

Als nächstes muss ich ja die Abgeschlossenheit der Additon und Skalar-Multiplikation zeigen.

Seien v,w ∈ U und α ∈ R. Setze u:= v+w. Zu zeigen ist: u12 + u24 = 0.

Wegen v,w ∈ U gilt v12 + v24 = 0 und w12 + w24 = 0.

Weiter gilt:

u12 + u24 = (v1 + w1)2 + (w2 + w2)4 = v2 + 2v1w1 + w12 + (v2 + w2)4

= v12 + 2v1w1 + w12 + v24 + 4v23w2 + 6v22w22 + 4v2w23 + w24


Egal, wie ich weiterrechne, ich komme nicht weiter. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

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Vom Duplikat:

Titel: unterräumevektor/ Vektorrämue

Stichworte: untervektorraum,beweis

V := R²      und U := { (a, b) ∈ R²  | a² + b^4 = 0 } seien

Beachte die Fachbegriffe. Auch hier https://www.mathelounge.de/627950/unterraumevektor-beweisen hast du von "unterräumevektor" gesprochen und nicht gesagt, was du eigentlich tun musst.

Hast du die Antwort dort überhaupt zur Kenntnis genommen?

Wenn ja: Was ist denn nun dein Ansatz bei dieser neuen Frage?

Mit der nachgereichten Null bleibt ja nur (0|0) , weil a und b reelle Zahlen sind.

V := R²

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

In der Def. von U heißt es ja wohl   a² + b^4 = 0.

Das gilt in R^2 nur für das Paar (0,0). Und das allein

bildet in der Tat einen Untervektorraum von R^2,

den Nullraum.

Avatar von 287 k 🚀

Aber die Abgeschlossenheit muss ich doch trotzdem zeigen?

Dass U nicht leer ist, habe ich bereits.

Trotzdem muss ich ja noch die Abgeschlossenheit der Addition und Skalar-Multiplikation zeigen, wenn ich beweisen möchte, dass U ein Untervektorraum von R^2 ist.

Oder etwa nicht?

(0|0) + (0|0) = (0|0)

a(0|0) = (0|0)

Viel mehr gibt dein UVR nicht her.

D.h. ich hätte mir die Rechnerei sparen können? Oder muss ich noch beweisen, dass (0, 0) das einzige Element in U ist?

Irgendetwas über reelle Zahlen darfst du hoffentlich voraussetzen (?)

Bsp. a^2 ≥ 0, b^4 ≥ 0.

Hm, bin mir da ehrlich gesagt nicht sicher. Auf jeden Fall vielen Dank für den Tipp, dann muss ich mir das wohl gar nicht so schwer machen.

Schreibe daneben einfach mal "wie aus den Rechenregeln für reelle Zahlen bekannt".

+1 Daumen

U ist ein Untervektorraum von R^2 , denn das einzige Element von U ist (0,0).

Avatar von 37 k

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