Untervektorraum, reelle Funktionen

Question

Man soll zeigen, dass Menge U aller Funktionen f:ℝ→ℝ der Form f(x)=ax+b mit Konstanten a,b ∈ ℝ

einen Untervektorraum des ℝ-Vektorraums V aller reellen Funktionen mit punktweiser Addition und

Skalarmultiplikation bildet.

Soll man nun folgende 3 Bedingungen bei ax+b zeigen?

1.U enthält Nullvektor 0 von V.

2.Aus u₁ ∈ U und u₂ ∈ U folgt u₁ + u₂ ∈ U.

3.Aus k ∈ K und u ∈ U folgt ku ∈ U.

Wenn ja, was wäre k bzw. K in diesem Fall?

Answer 1

das steht oben: Du hast einen \(\Bbb R\)-Vektorraum, also \(K = \Bbb R \).

Fall (1) ist überflüssig, da er für \(k=0\) aus Fall (3) zwingend folgert.

Grüße,

M.B.

Comments

Danke,

also wenn ich nun Fall 2 überprüfe, erhalte ich

(cx+d)+(ex+f)=(c+e)x+(d+f)

(c+e) ist a und (d+f) ist b. Also stimmt die Addition.

Bei Fall 3 bin ich mir sehr unsicher:

3*(cx+d)=3cx+3d ?

3c=a und 3d=b ?

Kannst du mir da weiterhelfen, falls es falsch ist?

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ich sehe keinen Fehler, aber (3) muss natürlich auch allgemein bewiesen werden.

Grüße,

M.B.

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Wie soll das denn gehen? Ich verstehe nicht genau, was ich beweisen soll...

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3*f(x)=3cx+3d |:3

⇔f(x)=cx+d

 oder wie?

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Deine Rechnung ist fast richtig, aber benutze statt 3 eine Variable so wie bei (2).

Grüße,

M.B.

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t*f(x)=t(cx+d)

⇔t*f(x)=tcx+td |:t

⇔f(x)=cx+d

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jetzt fängst Du an, Mist zu machen. Du hast oben den Ansatz \( 3\cdot(cx+d) = 3cx+3d \).

Benutze den mit einer Variablen.

Grüße,

M.B.

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Jaja die woche war hart

t ⋅(cx+d)=tcx+td |:t

⇔cx+d=cx+d 

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Du stehst voll auf Deiner Leitung.

\( t (cx+d) = tcx+td \) reicht völlig aus, tc=a, td=b, völlig analog zur anderen.

Und wenn Du hier t=0 setzt, hast Du auch (1) gleich mit.

Grüße,

M.B.