Ableitung eines Differenzialgleichungssystems

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Differenzialgleichungssystem:

$$\begin{aligned} \dot { x } _ { 1 } ( t ) & = x _ { 2 } ( t ) \\ \dot { x } _ { 2 } ( t ) & = \epsilon \left( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) \right) x _ { 2 } ( t ) - x _ { 1 } ( t ) \end{aligned}$$

 mit Epsilon > 0.

 mit $$V : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } , \boldsymbol { x } = \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) ^ { T } \mapsto x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 }$$
Problem/Ansatz:

Nun soll man $$\left. \frac { d V } { d t } \right| _ { \boldsymbol { x } ( t ) }$$  bestimmen. Wie geht das? Damit soll ich dann die Definitheit zwischen -1 und 1 für x1 untersuchen. Und kann mir jemand erklären wie man diese Abbildung richtig ausspricht und was das genau bedeutet? Also die Abbildung V  Bildet mit einer Funktion von R^2 auf R ab. In diesem Fall lautet die Funktion ja (x1,x2)^T und die Bildet auf x1^2 + x2^2 ab richtig? Doch wie kann man sich das vorstellen?

Vielen Dank

Tim

Answer 1

Hallo

 Abbildungen von R²-> R stellst du dir am besten so vor: jedem Punkt der x-y Ebene ordnest du einen Wert zu, als Beispiel die Höhe des Gebirges, oder den Luftdruck oder die Temperatur usw.

2. dV/dt)=dV/dx1*dx1/dt+dV/dx2*dx2/dt

Gruß lul

Comments

Danke, das ist ne gute Erklärung.

$$= \left( \begin{array} { c c } { 2 x _ { 1 } ( t ) } & { 2 x _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { x _ { 2 } ( t ) } \\ { \epsilon \left( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) \right) x _ { 2 } ( t ) - x _ { 1 } ( t ) } \end{array} \right)$$

Das soll am raus kommen. Ist dV/dx1 dann der Vektor (1, x2) transponiert? Und das mal dx1/dt. Das ist dann was genau?