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Eine reelle Folge ist eine Abbildung x : NR; x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ; gewöhnlich notiert man sie als (xn)nN \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} wobei xn=x(n) x_{n}=x(n) gilt. Die Folge x x heist beschränkt, falls gilt: BRnN : xnB. \exists B \in \mathbb{R} \forall n \in \mathbb{N}:\left|x_{n}\right| \leq B . Die Folge x x heibt eine Nullfolge, falls gilt: εR>0n0NnNn0 : xn<ε \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \in \mathbb{N}_{\geq n_{0}}:\left|x_{n}\right|<\varepsilon .

Zeigen Sie, dass

U1={xRNx U_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid x\right. ist beschränkt } \} und U2={xRNx U_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid x\right. ist eine Nullfolge } \}

Untervektorräume des Vektorraums RN=Abb(N,R) \mathbb{R}^{\mathbb{N}}=\operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) über R \mathbb{R} sind. Bemerkung. Der Raum U1 U_{1} spielt eine grundlegende Rolle in der Funktionalanalysis; ausgestattet mit der sogenannten Supremumsnorm wird er gewöhnlich mit \ell^{\infty} bezeichnet. Der Raum U2 U_{2} , mit der Supremumsnorm, wird oftmals mit c0 c_{0} bezeichnet.


Die ist eine Aufgabe für HHU/Lineare Algebra I/Klopsch.

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Hallo,

sei a eine Schranke von x und b eine Schranke von y. Dann ist c = a + b eine Schranke von z = x + y.

Sei x eine Nullfolge und sei ein n0 = n0(ε) für x gewählt. Für die Nullfolge y sei m0 = m0(ε) gewählt. Dann ergibt sich p0 = p0(ε) aus p0(ε) = max(n0(ε/2), m0(ε/2)) für die Folge z = x + y. z ist also eine Nullfolge.

Grüße

Mister

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