Eine reelle Folge ist eine Abbildung x : N→R; gewöhnlich notiert man sie als (xn)n∈N wobei xn=x(n) gilt. Die Folge x heist beschränkt, falls gilt: ∃B∈R∀n∈N : ∣xn∣≤B. Die Folge x heibt eine Nullfolge, falls gilt: ∀ε∈R>0∃n0∈N∀n∈N≥n0 : ∣xn∣<ε.
Zeigen Sie, dass
U1={x∈RN∣x ist beschränkt } und U2={x∈RN∣x ist eine Nullfolge }
Untervektorräume des Vektorraums RN=Abb(N,R) über R sind. Bemerkung. Der Raum U1 spielt eine grundlegende Rolle in der Funktionalanalysis; ausgestattet mit der sogenannten Supremumsnorm wird er gewöhnlich mit ℓ∞ bezeichnet. Der Raum U2, mit der Supremumsnorm, wird oftmals mit c0 bezeichnet.
Die ist eine Aufgabe für HHU/Lineare Algebra I/Klopsch.