Injektiven Gruppenhomomorphismus zeigen (Symmetrische Gruppe)

Question

Wünsche euch allen einen guten Start in den Tag :-)

Trotz des schönen Wetters hoffe ich, dass mir jemand bei einer Aufgabe helfen kann, bei der ich nicht wirklich weiß, wie ich sie angehen soll.


Die Aufgabe ist:

Sei G eine Gruppe der Ordnung n.

a) Zeigen sie, dass z: G  -> S_n, g -> Lg,

wobei Lg: G -> G die Linkstranslation bezüglich g aus G ist, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Ich verstehe schon die a) nicht ganz, weil ich mir unter dieser Abbildung  nichts vorstellen kann. Habe auch erstmal versucht, mir die Abbildung anhand eines Beispiels klar zu machen, aber ohne Erfolg.


Ich kann mir leider kein Beweis dazu überlegen, wenn ich nicht weiß, was  die Abbildung überhaupt macht..

Kann mir da jemand vielleicht ein verständliches Beispiel dazu geben? Wäre für jede Antwort sehr dankbar.

mfg, Phillip

Answer 1

Du sollst zeigen, dass für eine Gruppe mit Ordnung $n$ die Abbildung$$z : G \to S(G),~g \mapsto L_g$$ein injektiver Gruppenhmomorphismus ist. Dabei ist für $g \in G$$$L_g : G \to G,~ x \mapsto g \cdot x$$die Linkstranslation mit $g$. Man kann sich leicht überlegen, dass diese Abbildungen bijektiv sind, da $L_{g^{-1}}$ die Umkehrabbildung zu $L_g$ ist. Also ist die Abbildung $z$ wohldefiniert, denn$$\forall g \in G : L_g \in S(G) := \left\lbrace f : G \to G ~|~ f \textrm{ bijektiv} \right\rbrace$$

Ich verstehe nicht ganz, weil ich mir unter dieser Abbildung  nichts vorstellen kann.

Die Abbildung bildet einfach die Elemente von $G$ auf Abbildungen $G \to G$ ab.  Betrachten wir z.B. mal die Gruppe $(\mathbb{R}\backslash\{ 0 \}, \cdot)$, also alle reelle Zahlen ohne die Null zusammen mit der Multiplikation. 
$$z(1) = L_1 \quad \textrm{mit}\quad L_1 : \mathbb{R}\backslash\{ 0 \} \to \mathbb{R}\backslash\{ 0 \},~ x \mapsto 1 \cdot x$$ $$z(-8) = L_{-8} \quad \textrm{mit}\quad L_{-8} : \mathbb{R}\backslash\{ 0 \} \to \mathbb{R}\backslash\{ 0 \},~ x \mapsto -8 \cdot x$$------------
Jetzt rechnen wir die gesuchten Eigenschaften nach. 1) Gruppenhomorphismus: zu zeigen ist also
$$\forall a,b \in G :z(a\cdot b) = L_{a\cdot b} = L_a \circ L_b = z(a) \circ z(b)$$Beachte hierbei, dass $S(G)$ eine Gruppe bezüglich der Komposition $"\circ"$ von Abbildungen ist. Seien also $a,b \in G$ beliebig. Wir möchten die Gleichheit der Abbildungen $L_{a\cdot b} = L_a \circ L_b$ zeigen, das sind Abbildungen $G \to G$, deshalb zeigen wir $$\forall x \in G: L_{a\cdot b}(x) = (L_a \circ L_b)(x)$$ Sei $x \in G$ beliebig. $$L_{a\cdot b}(x) = (a\cdot b)\cdot x = a \cdot (b\cdot x) = a \cdot L_b(x) = L_a(L_b(x)) = (L_a \circ L_b)(x)$$$$\implies L_{a\cdot b}=L_a\circ L_b$$
2) Injektivität: Seien $a,b\in G$ mit $z(a) = L_a = L_b = z(b)$, dann erhalten wir durch Einsetzen des neutralen Element $e$ von $G$: $$L_a = L_b \implies L_a(e) = L_b(e) \implies a = a\cdot e = b \cdot e = b$$D.h. $z$ ist injektiv.

Comments

Sehr vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

Ich konnte fast alles einwandfrei verstehen. Vor allem waren die Beispiele sehr nützlich!

Wo ich noch etwas Probleme habe, ist bei der Injektivität.

Im Skript steht bei mir folgendes:

Ein Gruppenhomomorphismus f: (G, *) -> (H, o) ist injektiv, wenn Ker(f) = f^-1 (e_H)  = {e_G}

Inwiefern wurde dies durch deine Rechnung gezeigt? Und warum hast du das neutrale Element eingesetzt?

Irgendwie erschließt sich mir das noch nicht...

Sonst habe ich den Rest verstanden!

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Inwiefern wurde dies durch deine Rechnung gezeigt?

Ich habe eine andere Formulierung für die Injektivität verwendet, nämlich:

$$f : M \to N \textrm{ injektiv} :\Leftrightarrow \forall x,y\in M : f(m)=f(n) \implies m=n$$

Und warum hast du das neutrale Element eingesetzt?

Da ich eben genau diese Tatsache nachrechnen wollte. Wenn du dir a,b aus G nimmst und annimmst, dass z(a) = z(b), dann folgt nach Definition von z$$L_a = L_b$$Das ist eine Gleichheit von Abbildungen. Wir möchten jetzt für die Injektivität zeigen, dass dann schon a=b folgt. Und das geht eben am schnellsten indem du links und rechts das neutrale Element einsetzt.

Im Skript steht bei mir folgendes:


Ein Gruppenhomomorphismus f: (G, *) -> (H, o) ist injektiv, wenn Ker(f) = f-1 (eH)  = {eG}

Das ist einfach nur eine äquivalente Charakterisierung für Injektivität bei Gruppenhomomorphismen. Man kann aber auch ganz schnell nachrechnen, dass diese Aussage erfüllt ist:

Sei $a \in \ker z$, dann folgt ja:

"$z(a)$ = neutrales Element von $S(G)$"

Das neutrale Element von $S(G)$ ist die Identität: $$id_G : G \to G, x \mapsto x = e \cdot x = L_e(x)$$

also gilt $L_a = z(a) = id_G = L_e$ mit obigem Beweis folgt dann direkt $a = e$, also $\ker z = \{e\}$

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Genau, die Formulierung für Injektivität habe ich noch verstanden, aber dann frage ich mich, warum man das einfach nur für das neutrale Element überprüfen soll...

Also warum reicht es, einfach nur das neutrale Element einzusetzen? Und warum muss man das nicht für jedes Element überprüfen?

Tut mir Leid, wenn die Frage vielleicht etwas doof ist. Aber mir erschließt sich das noch nicht ganz.

mfg, Phillip

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Du nimmst ja schon an, dass die Funktionen $L_a$ und $L_b$ gleich sind.

"z(a)=z(b)"

Und möchtest jetzt zeigen, dass

"a = b"

Für x in G beliebig gilt:

$$L_a(x) = a\cdot x = b\cdot x = L_b(x)$$

x=e liefert uns einfach sofort die Aussage "a=b" die wir zeigen möchten.

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Ah okay, jetzt weiß ich, wie ich mein Problem formulieren soll.

Und jetzt weiß ich auch, wie man hier mit Latex schreiben kann. Also entschuldige bitte meine Schlamperei von davor :)

Du hast  $$x = e_{G}$$ gesetzt.

Nun frage ich mich aber:

Wenn $$L_{a}(x) = a \cdot x = b \cdot x = L_{b}(x)$$ gilt und daraus dann $$a = b$$ folgen soll, dann soll das doch für alle x aus G gelten.

Aber du hast ja das nur für das neutrale Element gezeigt.

Wenn ich jetzt $$x \neq e \in G$$ nehme und das einsetze, kann es dann nicht sein, dass

$$L_{a}(x) = a \cdot x = b \cdot x = L_{b}(x) \Rightarrow a \neq b$$ folgt?

Wegen diesem Hintergedanken verstehe ich deinen Beweis zur Injektivität nicht.

Ich habe mir gestern noch überlegt,  warum

$$L_{a}(x) = a \cdot x = b \cdot x = L_{b}(x) \Rightarrow a = b\;\; \forall x \in G$$  gilt.

Ist es nicht vielleicht wegen der Kürzungsregel? Die besagt ja, dass

$$a \cdot x = b \cdot x \Rightarrow a = b$$

Und deswegen setzt du $$x = e$$? Weil aufgrund dieser Regel es keinen Unterschied macht, welches $$x \in G$$ du da einsetzt?

Ansonsten wünsche ich dir einen guten Start in den Tag!

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Und deswegen setzt du
x=e
? Weil aufgrund dieser Regel es keinen Unterschied macht, welches
x∈G
du da einsetzt?

Genau, vollkommen richtig!

Wenn ich jetzt
x≠e∈G
nehme und das einsetze, kann es dann nicht sein, dass

La(x)=a⋅x=b⋅x=Lb(x)⇒a≠b
folgt?

Diese Frage beantwortest du dir im Grunde schon ja selbst. Da x Element einer Gruppe ist können wir die Kürzungsregel verwenden. Aus ax=bx folgt also stets a=b: für alle x. Aber für x=e spart man sich diesen Argumentationsschritt einfach, das macht den Beweis 1 Wort kürzer.

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Okay, dann habe ich das soweit begriffen.

Nochmal vielen herzlichen Dank für die Hilfe. Ich war am Anfang echt aufgeschmissen.

Einen schönen Tag noch!