Kern,Dimension,Basis von Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die lineare Abbildung f: ℝ⁴ -> ℝ⁴, v ↦Av mit
A =\( \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & -1\\ 1& 3 & -1 & 1\\ 1& -1 & 3 & 1\\ -1 & 1 & 1 &3  \end{pmatrix} \)

sowie die Vektoren a = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1  \end{pmatrix} \) und b = \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1  \end{pmatrix} \)

a) Berechnen Sie f(a) und begründen Sie, dass b im Kern (A) liegt

b) Bestimmen Sie die Dimension des Kerns bzw. des Bildes der linearen Abblildung f.

c) Bestimmen Sie anschließend jeweils eine Basis des Kerns von A und des Bildes von f.

Kann mir dabei jemand weiter helfen?
Ich weiß nicht wie ich anfangen soll, gar wie ich das verschriftlichen kann

Answer 1

Hallo

a) einfach anfangen, also die Matrix mit a multiplizieren Ergebnis ist f(a) Matrix mit b multiplizieren es sollte 0 Vektor rauskommen

b) das LGS A*x=0 mit Gauss lösen, die Lösungsvektoren  ergeben den Kern, Ihre Anzahl linear unabhängig die dim des Kerns , dim (Bild) =dim(R^4)-dim(Kern)

c) soviel lin unabhängige Vektoren wie die dim nehmen, die bilden dann ne Basis.

Gruß lul

Answer 2

A =\( \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & -1\\ 1& 3 & -1 & 1\\ 1& -1 & 3 & 1\\ -1 & 1 & 1 &3  \end{pmatrix} \)sowie die Vektoren a = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1  \end{pmatrix} \) und b = \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1  \end{pmatrix} \)a)

Berechnen Sie f(a) und begründen Sie, dass b im Kern (A) liegt

f(a) =\( \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & -1\\ 1& 3 & -1 & 1\\ 1& -1 & 3 & 1\\ -1 & 1 & 1 &3  \end{pmatrix} \)* \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1  \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\4\\4\\4  \end{pmatrix} \)

entsprechend ergibt f(b) den 0-Vektor, liegt also b im Kern von f.

b) und c)  mit Gauss-Algorithmus