Abstand d der beiden Extrempunkte ermitteln

Question

Ich habe eine gebrochenrationale Funktion gegeben: f(x)= x^3+2x^2/x^2-4 gegeben. Sie wird als Gf bezeichnet.

Jetzt muss ich den Abstand der Extrempunkte ermitteln:

Ich wäre folgendermaßen vorgegangen:

1. unecht gebrochen rationale Funktion in eine gebrochen rationale Funktion umwandeln, indem man (x^3+2x^2) : (x^2-4) rechnet.

2. Wert c in gebrochenrationale Funktion einsetzen, um d zu ermitteln

Hier muss ich die Polynomdivision hier anwenden und dann die drei Ableitungen bilden, um dann c in die dritte Ableitung einzusetzen, um d herauszufinden?

(x^3+2x^2) : (x^2-4) = x

- (x^3-4x^2)

           -4x^2-0,5

Dann komme ich nicht weiter.

Comments

Oder die beiden Extrempunkte ermitteln und diese subtrahieren?

Answer 1

Erst mal Polynomdivision korrigieren

    (x^3+2x^2) : (x^2-4) = x  +  2   +  (-4x+2) / ( x^2 - 4 )
   - (x^3-4x) 
   ---------------
            2x^2 - 4x 
           2x^2 -  8
           --------------
                -4x + 8

Noch besser wäre gewesen: Binom. Formel anwenden und ausklammern

    (x^3+2x^2) : (x^2-4) = x^2 * (x+2) / ( x+2)*(x-2) =  x^2 / (x-2)   (für x ≠ -2)

Damit bekommst du

f ' (x) = (x^2 - 4x ) / ( x-2) ^2

Und f ' (x) = 0 <=>   x=0 oder x=4

f ' ' (x) = 8 / (x-2)^3   also  f ' ' (0) = -1 ==>  Max. bei 0

und f ' ' ( 4) = 1 > 0 ==>   Min bei 4

Hochpunkt  H ( 0 ; 0 )  Tiefpunkt T ( 4 ; 8 )

Abstand d ist die Länge der Strecke HT mit Pythagoras

  d^2 = 4^2 + 8^2 = 80 ==>    d = √80 ≈8,94

sieht so aus:

~plot~  (x^3+2*x^2)/(x^2-4);[[-3|10|-2|15]]  ~plot~