Wenn f injektiv ist, heißt das ja nicht das f surjektiv ist.
Stimmt !
Aber hier ist ja der besondere Fall zweier endlicher Mengen mit gleichviel
Elementen.
Da ist es ja so:
zu (a) ==> (b)
Wenn f Injektiv ist, gibt es nicht mehrere Elemente von A, die auf das gleiche
Element von B abgebildet werden. Also ist die Anzahl der Elemente
in f(A) gleich der in A. Kurz |A| = |f(A) |
Nun ist aber f(A) eine Teilmenge von B, und wenn die genauso viel
Elemente wie B hat, ist sie gleich B. Also f surjektiv.
zu (b) ==> (c) : ÄHnlich wie eben kann man argumentieren: Wenn f
surjektiv ist, dann ist f(A) = B also auch |f(A)| = |B|
und wegen der Vor. |A| = |B| also auch |A| = |f(A)|.
Es gibt also genauso viel Bilder wie Urbilder; damit können keinem
Urbild zwei verschiedene Bilder zugeordnet sein.
zu (c) ==> (a) ist wohl klar, das ist immer so.
Den zweiten Teil beweist du wohl am besten über vollst. Induktion nach
der Anzahl der Elemente von A.
Für n=1 ist es ja klar.
Wenn es für n gilt dann gilt bei n+1 elementigen Mengen A und B:
Sei f eine Bijektion von A nach B .
Wähle ein x∈A ( gibt es, da A nicht leer.) und betrachte alle
Bijektionen von A\{x} nach B \ {f(x)}. Diese lässt sich zu n+1
verschiedenen Bijektionen von A nach B fortsetzen, indem man
dem x jedes Mal ein anderes Element von B zuordnet.
Und aus zwei verschiedenen f: A → B können dabei keine
gleichen von A\{x} nach B \ {f(x) entstehen, denn sonst wäre entweder bei
verschieden gewählten x die Bilder f(x) gleich (Widerspruch zu Injektiv) oder bei
gleicher Wahl von die Bilder verschieden, man hätte also mit einem
anderen "f" begonnen.
So entstehen also aus einer von Bijektion von A\{x} nach B \ {f(x)}n+1
Bijektionen von A nach B. Und weil es von der ersten Sorte n! gibt,
entstehen also n!*(n+1) = (n+1)! von A nach B.
