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Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum mit n= dimV <∞, und φ:V→V eine nilpotente lineare Abbildung. Es gibt also ein m∈N mit φm= 0(Null-Abbildung).

Sei n= 2 und φ≠ 0. Zeigen Sie:Es gilt dim Bild(φ) = 1 und es gibt eine Basis B von V mit MB(φ) =[(0  1), (0  0) ].

Meine bisherigen Ansätze:


Es gilt dim Kern(φ)=1.

Weiter ist das charakteristische Polynom gegeben durch x2, d.h.  0 ist der einzige Eigenwert von der Matrix.

Es ist Kern MB(φ)=<(1,0)>, wobei <> die lineare Hülle bezeichnet.

Außerdem ist MB(φ)*MB(φ)=0v , d.h. m=2.

Es ist U= Bild (φ) =<(0,1)>.

Nun soll ich φ`bestimmten, dass definiert ist durch φ eingeschränkt auf U und abgebildet von U→U.

Außerdem muss ich eine Basis B´ von U bestimmen und M(φ).

Wenn ich die Basis B´dann zu der Basis B ergänze, halte ich glaube ich die Basis B.

Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich das machen soll. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen.

von

Ich finde die Frage auch sehr interessant. Kann keiner sagen ob das so stimmt wie Zahlenprofi es geschrieben hat und wie man weiter vorgeht?

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