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Aufgabe:

Sei V=ℚ3und f:V→Vdie lineare Abbildung mit f(x,y, z)=(4y, 0, 5z).

Bestimmen Sie das kleinste m≥1 mit Kern(fm) = Kern(fm+i) für alle i∈ℕ


Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst mal die Abbildung f in der Matrixschreibweise geschrieben. Als Basis habe ich B={x,y,z} gewählt.

Dann ist

f(x)=0*x+4*y+0*z

f(y)= 0*x+0*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+0*z

So erhalte ich dann die darstellende Matrix A=((0,0,0),(4,0,0),(0,0,5)).

Es ist Kern(A)=<(1  0  0)T>

A2=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,25)) und Kern(A2)=<( 1 0 0)T, (0 1 0)T>

A3=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,125)) und somit Kern(A2)=Kern(A3)

Somit ist das kleinste m gleich 2.

Stimmt das so?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Ist alles richtig, eventuell wäre zu ergänzen:

Die weiteren Potenzen von A sind alle von der Form:

Alles 0en nur unten rechts steht 5^n .

(Bei pingeligem Korrektor vielleicht sogar

mit Induktion beweisen.)  Also bleibt

dim(Kern) = 2 für alle folgenden Potenzen von A.

von 172 k

Alles klar. In Teilaufgabe b soll ich dann eine Zerlegung bestimmen, sodass

V=U⊕U′ wie in Fittings Lemma und auch dimU und dimU′  bestimmen.

Nach Fittings Lemma gibt es also f invariante Unterräume U und U' mit V=U⊕U′ und f eingeschränkt auf U ist nilpotent und f eingeschränkt auf U' ist invertierbar.

Kann mir jemand sagen, wie ich das hier machen muss?


Also U soll nilpotent sein, also gibt es ein m ∈ ℕ mit Um=0

Und U' * U'-1 = In  

aber wie bestimme ich U und U' und die Dimension der beiden?

Ich denke mal so:

U=<( 1 0 0)^T, (0 1 0)^T>

U ' = < (0  0  1 )^T >

Ok das hab ich verstanden. Und nun soll ich noch das Minimalpolynom der Einheitsvektoren e1,e2,e3 bestimmen. Das charakteristische Polynom ist

χf(x)=x2(5-x).

Das entspricht gleichzeitig auch dem Minimalpolynom, da  m(A)=xf(A)=0

Oder ein man mit den Einheitsvektoren eine andere Matrix A?

Kann mir jemand sagen ob ich das mit den Einheitsvektoren und dem Minimalpolynom so richtig verstanden habe? Oder habe ich da einen Denkfehler??

Also das mit dem Minimalpolynom hat sich erledigt.


Allerdings habe ich doch nochmal eine Frage


Lautet meine Matrix A

0  0  0

4  0  0

0  0  5

oder

0  4  0

0  0  0 

0  0  5


Weil zuerst habe ich gedacht, dass das obere gilt, aber das macht irgendwie keinen Sinn, denn zum Beispiel f(e1)=(0  4  0)T = Ae1

und dann müsste das zweite stimmen.

Oder?

Jas , das zweite stimmt; denn

f(e1) = (4*0;0;5*0)= (0;0;0)^T  und das ist

die erste Spalte der Matrix. Entsprechend

für die zweite und dritte.

Dankeschön.

Stimmt das hier dann gar nicht?

f(x)=0*x+4*y+0*z

f(y)= 0*x+0*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+5*z


Weil daraus ergibt sich doch die erste Matrix?

Das muss dann auch so heißen oder?

f(x)=0*x+0*y+0*z

f(y)= 0*x+4*y+0*z

f(z)=0*x+0*y+5*z

Kannst du mir vielleicht nochmal weiterhelfen mathef

Es gibt ja kein f(x) sondern nur

f von der Spalte (x,y,z)^T bzw

        x                    4y            0   4   0             x
f   (   y   )     =         0     =      0   0   0     *      y
        z                    5z            0   0    5            z

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