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Aufgabe:

Sei \(A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) mit \(a_{i,j}=i+j\) für alle \((i,j) \in [m] \times [n]\).
$$A=\begin{pmatrix}a_{1,1} &\dots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n} \end{pmatrix}$$

Bestimme den Rang von \(A\) mit \(m,n>0\).


Problem/Ansatz:

\(a_{i,j}=i+j\) heißt, dass die Matrix wie folgt aussieht:
$$A=\begin{pmatrix}2_{1,1} & 3_{1,2}&\dots & 1+n_{1,n}\\ 3_{2,1}&4_{2,2} &\dots & 2+n_{2,n}\\ \vdots &  \vdots &\ddots &\vdots\\ m+1_{m,1} & m+2_{m,2} &\dots &m+n_{m,n} \end{pmatrix}$$

Um den Rang zu bestimmen, forme ich die Matrix in die ZSF um:
$$A=\begin{pmatrix}2 & 3 & \dots & 1 + n \\ 0 & -\frac{1}{2} & \dots & \frac{1 - n}{2}\\ \vdots &  \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \frac{7 - m}{2} & \dots & \frac{-m + 1 - nm + n}{2} \end{pmatrix}$$


Nun weiß ich aber nicht mehr weiter. Ich müsste ja jetzt \(m\)-Mal elementare Umformungen machen, damit ich jedes Pivotelement abgearbeitet habe und ich dann den Rang bestimmen kann. Könnt ihr mir da weiterhelfen? (Vllt gibt es ja auch andere Möglichkeiten?)

vor von

1 Antwort

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Subtrahiere von allen Zeilen die erste Zeile, dann siehst Du dass der Rang der Matrix 2 ist.

vor von 1,8 k

Aber für die Matrix \(A \in \mathbb{R}^{1\times 1}\) wäre der Rang ja 1, soll ich das als Sonderfall werten? Auf jeden Fall schon mal danke!

Ja, das ist ein Sonderfall. Aber sonst müsste es passen.

Kann ich dann schreiben: Alle Zeilen größer 2 sind linear abhängig von den Zeilenvektoren davor und deshalb ist der \(\operatorname{Rang}(A)=2\)? Oder muss ich auch iwas über die Spaltenvektoren aussagen?

Zeilenrang = Spaltenrang. Daher reicht es, die Zeilen zu betrachten.

Wenn Du noch einen zweiten Schritt in Richtung Zeilenstufenform rechnest, fallen alle Zeilen bis auf die ersten zwei raus. Dann ist klar, dass der Rang = 2 ist.

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