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Aufgabe:

Ermitteln Sie bitte die Länge des Brückenbogens mithilfe des Simpson Verfahrens. Der Bogen soll
dabei in 20 Abschnitte unterteilt werden.

f(x) = -13/2304 x^2-6

Betrachteter Bereich: -48 | +48

Simpsons Formel:
$$ \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{6 n} \cdot\left(f(a)+2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} f\left(x_{2 k}\right)+4 \cdot \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{2 k-1}\right)+f(b)\right) $$

Kurven- / Bogenlänge Formel:
$$ \mathrm{L}(\mathrm{K})=\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \sqrt{1+\left(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{t})\right)^{2}} \mathrm{d} \mathrm{t} \text { im } \mathbb{R}^{2} $$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht, wie ich mithilfe der Simpsons Regel, die Bogenlänge bestimmen soll.

Wenn ich die Simpsons Formel einfach runterrechne, bekomme ich ja die Fläche zwischen der x-Achse und der Parabel herraus.

Eine Idee wäre, da bin ich mir aber sehr unsicher, die erste Ableitung von f(x) zu bilden und der Wert, welcher dann rauskommt in die Formel von der Kurven- / Bogenlänge einzugeben anstatt von (f´(t)) - wenn ich davon dann aber die Stammfunktion bilde und wieder Integriere, habe ich das ja 2 mal Integriert. Geht das überhaupt?

Wäre super wenn mir jemand einen Denkanstoss geben kann, wie ich diese Aufgabe lösen kann :)

Danke!

vor von

1 Antwort

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f(x) = - 13/2304·x^2 - 6

Die Funktion die Du Integrieren müsst um die Bogenlänge zu bekommen ist aber

l(x) = √(1 + f'(x)^2)

l(x) = √(1 + (-13/1152·x)^2)

a = -48

b = 48

m = 0

S(l) = (48 - (-48))/6 * (l(-48) + 4 * l(0) + l(48)) = 100.39

Wenn man nicht nähert bekommt man übrigens 100.5068398 heraus.

vor von 289 k

Hey, danke für deine Antwort!

l(x) = √(1 + (-13/1152·x)²)

Warum hast du hier die Funktion halbiert?


S(l) = (48 - (-48))/6 * (l(-48) + 4 * l(0) + l(48))

Warum hast du bei der Simpsons Formel das n nicht betrachtet?

$$ 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} f\left(x_{2 k}\right)+4 \cdot \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{2 k-1}\right) $$

Und warum hast du, anstatt die 20 Teilstücke im Integral aufzusummieren einfach 0 eingesetzt und das $$ 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} f\left(x_{2 k}\right) $$ komplett weggelassen?


S(l) = ((48 - (-48))/6) * (l(√(1 + (-13/1152·(-48))²)) + 4 * l(√(1 + (-13/1152·0)²)) + l(√(1 + (-13/1152·48)²)))

Also sollte die Endformel so aussehen?

l(x) = √(1 + (-13/1152·x)²)

Warum hast du hier die Funktion halbiert?

Ich habe die Funktion nicht halbiert. Schau genau in meine Antwort was ich gemacht habe

Und warum hast du, anstatt die 20 Teilstücke im Integral aufzusummieren einfach 0 eingesetzt und das

Ich habe dir verkürzte Simpson-Formel über 3 Stellen genommen. Ich dachte dann wäre das klar und du kannst es mit 20 machen. Rechnung ist doch fast genau so. Dir sollte nur klar sein welche Funktion du integrieren musst.

IMG_20190614_205020.jpg


Gestern Abend war wohl schon spät... Natürlich ist l(x) =-13/1152·x die 1. Ableitung..
Ich hab mich jetzt mal drangemacht, aber irgendwie passt es dann doch noch nicht - findest du den Fehler?
Dankeschön!

edit:
Habe grade nochmal ausprobiert, den ersten Bruch mit 6*10 statt 6*20 zu nehmen und dann komm ich auf 100,5057878 (wahrscheinlich weil ich Summe1 und Summe2 nicht alle nachkommastellen mitgenommen habe) und das passt fast mit deinem Ergebnis.

Aber warum ist das so? n = die Anzahl der Teilstücke die man bildet und das wären ja 20

Hoffe auf eine Antwort :)

Aber warum ist das so?

Ich weiß nicht ganz was du meinst. Warum des jetzt eine Näherungslösung ist? Und Achtung. Das wird ja auch immer eine Näherung bleiben auch wenn sie schon sehr gut ist.

Das war bezogen auf die Frage, warum ich den ersten Bruch durch 10 teilen muss und nicht durch 20.

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