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a)Die Zahlenfolge an n∈N wird definiert durch a1=1 und an+1=an+(16n-2) für n>=1

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n E N gilt : an = (4n-3)(2n-1)






Problem/Ansatz:

wie löse ich am besten diese Aufgabe ??

von

Ich habe dir einen Lösungsvorschlag....

2 Antworten

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Beste Antwort

Aufgabe:
Du hast eine Zahlenfolge \(a_n, n \in \mathbb{N}\) wie folgt gegeben: 
$$ a_1 = 1 , \\ a_{n+1} = a_n + (16n - 2).$$
Du sollst nun per Induktion beweisen, dass 
$$a_n = (4n-3)(2n-1)$$ 
für alle n aus IN grössergleich 1 gilt. Nennen wir diese Formel, die zu beweisende Formel.




Als allererstes würde ich mit den bereits gegebenen, bekannten Formeln \(a_1\) und \(a_{n+1}\) die zu beweisede Formel \(a_n\)  für n = 1, n = 2, n = 3 zeigen: 


***Induktionsanfang mit n=1:

Gegeben ist \(a_1 = 1.\) 
Jetzt setzst du n=1 in die zu beweisende Formel  \(a_n\) ein und erhältst:

\(a_1 = (4(1)-3)(2(1)-1) = (4-3)(2-1) = (1)(1) = 1. \)

Und du siehst, dass es stimmt. 

Analog machst du das mit n=2 und n=3. Und du wirst sehen, dass das stimmt. 
Allerdings benutzt du \(a_{n+1} = a_n + (16n - 2) \) um n=2 und n=3 zu berechnen. 


***Induktionsvoraussetzung / behauptung: 
Weil du gesehen hast, dass  (mithilfe \(a_1\) und \(a_{n+1}\) ) die zu beweisende Formel \(a_n\) für ein beliebiges aber fixes n≥1 stimmt, kannst du sagen, dass die zu beweisende Formel 
\(a_n = (4n-3)(2n-1)\) gilt.
(Du wirst sie im Induktionsschluss verwenden müssen). 

***Induktionsschluss:
Oben hast du gesehen dass die zu beweisende Formel für ein belibiges aber fixes n gilt, oder?
Und nun musst du zeigen, dass die zu beweisende Formen \( a_n \) für n= n+1 gilt.
Also nimmst du \(a_n = (4n-3)(2n-1)\)  und ersetzst jedes n darin durch n+1.

Dann bekommst du: $$ a_{n+1} = (4(n+1)-3)(2(n+1)-1)$$


und das soll gleich der dir bereits am Anfang gegebenen Formel: $$a_{n+1} = a_n + (16n - 2)$$ sein.


Also setzst du die zu beweisende Formel (mit n+1)  mit der Formel \(a_{n+1}\) , die dir am Anfang gegeben wurde gleich und erhältst: $$ (4(n+1)-3)(2(n+1)-1) = a_n + (16n - 2) $$

Jetzt aber siehst du, dass du einfach ausmultiplizieren könntest aber rechts vom Gleichheitszeichen hast du noch ein \(a_n\) stehen. Also die Aussage für n. Da du aber im Induktionsanfang genau diese für beliebige aber fixe n auf Richtigkeit überprüft hast und in der Induktionsvoraussetzung das festgestellt hast, kannst du das \(a_n\) ersetzten mit \(a_n = (4n-3)(2n-1).\)


Dann hast du neu stehen: 


(4(n+1)-3)(2(n+1)-1) =  (4n-3)(2n-1) + (16n - 2)

Und jetzt kannst du das ausmultiplizieren und du wirst sehen, dass du links und rechts das gleiche stehen hast. 

Damit wäre das bewiesen. 






von
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Du brauchst nur 2 Dinge machen.

Was machst du im Induktionsanfang ?

Was machst du im Induktionsschritt ?

von 294 k

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