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Aufgabe:

x^7+3x^2-9x^5-23x^4-12x^3 in Linearfaktoren zerlegen.. Woher weiß ich was die doppelte Nullstelle ist?

EDIT: x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3

von

Eine doppelte Nullstelle ist offenbar x=0, denn x^2 lässt sich ausklammern.

3 Antworten

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Beste Antwort

Ich vermute mal, es sollte x7+3x6-9x5-23x4-12x3 heißen. Dann lautet die Zerlegung in Linearfaktoren x3(x-3)(x+4)(x+1)2. Die Exponenten der Linearfaktoren nennen die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle. Dann ist x=-1 doppelte Nullstelle

von 62 k

Kommentar des Fragestellers gestern Nacht.

ups x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3
+1 Daumen

Konzentriere dich auf die Zahlen und versuche Zusammenhänge zu erkennen:$$0=x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3$$$$0=x^3(x^4+3x^3-9x^2-23x-12)  \Longrightarrow x_{1,2,3}=0$$$$0=x^4+3x^3-9x^2-23x-12$$ Jetzt musst du etwas rumprobieren (aufm Schmierblatt). Wenn du die einzelnen Glieder clever "aufsplittest":$$0=x^4+x^3+2x^3+2x^2-11x^2-11x-12x-12$$ Und jetzt kannst du ausklammern:$$0=x^3(x+1)+2x^2(x+1)-11x(x+1)-12(x+1)$$$$0=(x+1)(x^3+2x^2-11x-12)$$ Probiere mal eine Methode zu finden, hier wieder "clever" aufzusplitten, um einen Linearfaktor auszuklammern.

von 15 k

in meiner lösung steht, dass bei x=-1 eine doppelte nullstelle ist

Überprüfe dann nochmal deine Funktionsgleichung. Für diese, die du in deiner Antwort hast, ist das falsch, da zwar \(f(-1)=0\) aber \(f'(-1)=12 \neq 0\).

ups x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3

Au weia, ich bin raus! :-(

hier ist tatsächlich auch \(-1\) eine doppelte Nullstelle.

Und das erkenne ich wie?

Ich werde meine Antwort gleich updaten!

Danke dir :)

Das geht leider nicht nach Schema F, sonst ist mir kein Trick bekannt.

+1 Daumen

Für eine mindestens doppelte Nullstelle muss \(f(x)=f'(x)=0\) gelten.

von 17 k

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