Aufgabe:
ich muss von folgendem Bruch die Achsensymmetrie zeigen:
$$\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}$$
Das Prozedere hinter dem Zeigen von Achsensymmetrie ist mir klar. Man muss ja nur zeigen, dass f(x) = f(-x). Ich habe aber f(x) versucht etwas umzuformen, bekomme aber leider keinne anähernd ähnliche Form wie f(-x).
$$f(x)=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}$$
==>
$$f(-x)=\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}=\frac{e^{x}}{\left(1+2e^x+e^{2x}\right)}$$
Kürzen mit e^x gibt
$$=\frac{1}{\left(e^{-x}+2+e^{x}\right)}$$
erweitern mit e^(-x) gibt
$$=\frac{e^{-x}}{\left(e^{-2x}+2e^{-x}+1\right)}$$
binomische Formel bringt den Rest.
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