Trigonometrische Identität herleiten. cos^(2)(x) = 1 / (tan^(2)(x) + 1)

Question

Aufgabe:

ich soll zeigen, dass

cos^(2)(x) = 1 / (tan^(2)(x) + 1)

für alle x ∈ R, für die die rechte Seite 
definiert ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß um ehrlich zu sein überhaupt nicht was ich hier machen muss. Wenn ihr mir auf die Sprünge helfen würdet wäre ich euch dankbar.

LG

Comments

Ist die gemeint cos²(x)=\( \frac{1}{tan^2x+1} \) ?

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ja damit ist das gemeint. Ich bin mir zwar nicht sichrr aber wird dke Funltion auch nicht arcustangens funktion genannt?

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Ok. Du meinst vermutlich diese Identität herleiten und nicht ableiten.

Oder wie lautet die Fragestellung ganz genau und vollständig.

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Hi,

die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:

Zeigen Sie

cos^2(x) = ( 1 /tan^2(x)+1) für alle  x ∈ R, für die die rechte Seite 
definiert ist.

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Ok. Dann passt jetzt die Überschrift.

Info zum Begriff "Ableitung" und "ableiten" https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsfunktion

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Zusammenhang deiner Aufgabe mit Umkehrfunktionen könnte bestehen. Vgl. https://www.mathelounge.de/185755/trigonometrische-funktion-cos-2-x-1-1-tan-2-x

Kann sein, dass ihr das gleiche Lehrmittel verwendet.

Answer 1

Hallo,

\( \cos ^{2}(x)=\dfrac{1}{\tan ^{2}(x)+1} \)

\( \tan ^{2}(x)=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos ^{2}(x)} \)
\( \cos ^{2}(x)=\dfrac{1}{\dfrac{\sin^2(x)}{\cos ^{2}(x)}+1} \)
\( \cos ^{2}(x)=\dfrac{1}{\dfrac{\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}} \)
\( \cos ^{2}(x)=\cos ^{2}(x) \)
$$ \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1 $$

Answer 2

Schreibe im Nenner tan²x als sin²x/cos²x und den nachfolgenden Summanden 1 als cos²x/cos²x.

tan²x +1 kann dann als ein Bruch geschrieben werden, dann muss nur noch der Doppelbruch aufgelöst werden.