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Aufgabe:

Eine Quadrik ist eine implizite Fläche der Form
[x, y, z, 1] M [x, y, z, 1]= 0,

wobei M eine 4×4-Matrix ist.


Die Kugel mit Mittelpunkt m=[0, 0, 2]T
und Radius r=3 ist eine Quadrik.
Bestimmen Sie M aus der Kugelgleichung.


Ansatz:

Muss ich hier einfach M angeben?

Ich kenne zwar die Kugelgleichung: x2*y2*z2=r2

Ist die Lösung hierzu dann -> M = x2*y2*(z-2)2 < 9

von

Ist die Lösung hierzu dann -> M = x^2*y^2*(z-2)^2 < 9

Ein erster Test könnte ja z.B. darin bestehen, zu untersuchen, ob dein Vorschlag der Bedingung   wobei M eine 4×4-Matrix ist.   genügt.


Den Beweis zu    Ich kenne zwar die Kugelgleichung    erbringst du mit   x^{2}*y^{2}*z^{2}=r^{2}  nicht.

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Aloha :)

Ich verstehe die Aufgabe so, dass die \(4\times4\)-Matrix \(M\) gesucht ist.

$$0=\left(x,y,z,1\right)\cdot\left(\begin{array}{c}m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14}\\m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24}\\m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34}\\m_{41} & m_{42} & m_{43} & m_{44}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\1\end{array}\right)$$$$=\left(x,y,z,1\right)\cdot\left(\begin{array}{c}m_{11}x + m_{12}y + m_{13}z + m_{14}\\m_{21}x + m_{22}y + m_{23}z + m_{24}\\m_{31}x + m_{32}y + m_{33}z + m_{34}\\m_{41}x + m_{42}y + m_{43}z + m_{44}\end{array}\right)$$$$=m_{11}x^2 + m_{12}xy + m_{13}xz + m_{14}x +m_{21}xy + m_{22}y^2 + m_{23}yz + m_{24}y + m_{31}xz + m_{32}yz + m_{33}z^2 + m_{34}z + m_{41}x + m_{42}y + m_{43}z + m_{44}$$$$=m_{11}x^2 + m_{22}y^2 + m_{33}z^2 + (m_{12}+m_{21})xy + (m_{13}+m_{31})xz + (m_{23}+ m_{32})yz + (m_{14}+m_{41})x + (m_{24}+m_{42})y + (m_{34}+m_{43})z + m_{44}$$Offenbar muss man im Allgemeinen noch fordern, dass die Matrix \(M\) symmetrisch ist, um eine eindeutige Darstellung zu erhalten. Dieser Hinweis fehlt allerdings in der Aufgabenstellung. Mit Symmetrie haben wir dann:$$=m_{11}x^2 + m_{22}y^2 + m_{33}z^2 + 2m_{12}xy + 2m_{13}xz + 2m_{23}yz + 2m_{14}x + 2m_{24}y + 2m_{34}z + m_{44}$$Diese Darstellung kann man nun mit derjenigen für die Kugel vergleichen:$$x^2+y^2+(z-2)^2=9\quad\Leftrightarrow\quad x^2+y^2+z^2-4z-5=0$$Das heißt: \(m_{11}=1\,,\,m_{22}=1\,,\,m_{33}=1\,,\,m_{34}=m_{43}=-2\,,\,m_{44}=-5\) bzw.

$$M=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -5\end{array}\right)$$

von 20 k
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Hallo

 das ist nicht die Kugelgleichung,  die ist x^2+y^2+(z-2)^2=9 , das kleiner macht für die Fläche keinen Sinn , das wäre die Vollkugel .

Gruß lul

von 30 k

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