Messunsicherheit berechnen

Question

Hallo liebe HelferInnen :)

Ich brauche für einen Praktikumsversuch die Messunsicherheit für eine Messgröße $q$. Der Hersteller des Gerätes garantiert, dass der reale Wert mit Sicherheit (=100% Wahrscheinlichkeit) im Intervall $[q_E-\Delta q; q_E+\Delta q]$ um den angezeigten Messwert $q_E$ liegt. Wir sollen die Fehlerberechnung im Versuch auf Basis der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung anfertigen.

Meine Frage ist nun, dieses vom Hersteller angegebene $\Delta q$ ist ja der Größtfehler, weil der reale Wert mit Sicherheit in dem Intervall liegt. Kann ich diesen Fehler einfach nehmen und die Fehlerrechnung nach Gauß damit durchführen oder muss ich irgendwas Besonderes beachten?

Ich stelle die Frage nicht im Physik-Board, weil ich gerne die Auswerte-Mathematik dahinter verstehen möchte.

Könnt Ihr mir helfen?

Vielen Dank im Voraus

Patty

Answer 1

Aloha :)

Die im Rahmen der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung verwendete bzw. ermittelte Messunsicherheit $\delta q$ einer Messgröße $q$ ist gleich deren Standardabweichung $\sigma_q$. Zeigt ein Messgerät den Wert $q_E$ an, dann liegt der reale Messwert in ca. 68% der Fälle im Intervall $[q_E-\delta q;q_E+\delta q]$.

Wie du selbst schon geschrieben hast, geben Gerätehersteller in ihren Datenblättern oft den Größtfehler $\Delta q$ an und garantieren, dass der reale Messwert zu 100% im Intervall $[q_E-\Delta q;q_E+\Delta q]$ liegt.

Wenn du nun diesen Größtfehler $\Delta q$ nimmst und damit die Gauß'sche Fehlerfortpflanung berechnest, überschätzt du den Fehler im Sinne von Gauß erheblich, denn $\Delta q\gg\delta q$. Das ist nicht falsch, aber du "versaust" dir die Genauigkeit deiner Messung durch schlampige Auswertung.

Gehen wir von den Daten des Herstellers aus. Er sagt, der reale Messwerte liegt sicher im Intervall $[q_E-\Delta q;q_E+\Delta q]$. Da wir keine weiteren Infos haben, nehmen wir weiter an, dass der reale Messwert gleichverteilt ist, d.h mit derselben Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{2\Delta q}$ jeden Wert des Intervalls annehmen kann. Dieser Wert für $p$ ergibt sich aus der Breite $2\Delta q$ des Intervalls und der Normierungsbedingung für die Gesamtwahrscheinlichkeit auf 1. Für die Fehlerfortpflanzung benötigen wir die Standardabweichung, also berechnen wir die Varianz der Messgröße $q$:

$$(\delta q)^2=V(q)=\left<(q-q_E)^2\right>=\int\limits_{q_E-\Delta q}^{q_E+\Delta q}(q-q_E)^2\,p\,dq=p\cdot\left[\frac{(q-q_E)^3}{3}\right]_{q=q_E-\Delta q}^{q_E+\Delta q}$$$$=p\cdot\left[\frac{(\Delta q)^3}{3}-\frac{(-\Delta q)^3}{3}\right]=p\cdot\frac{2(\Delta q)^3}{3}=\frac{1}{2\Delta q}\cdot\frac{2(\Delta q)^3}{3}=\frac{(\Delta q)^2}{3}$$Mit Wurzelziehen folgt die gesuchte Korrektur der Herstellerangaben:

$$\delta q=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\Delta q\approx 0,577\cdot\Delta q$$

Comments

Achso, jetzt ist alles klar. Wir haben uns nämlich ältere Versuchsauswertungen besorgt, und nur in einer kam genau dieser Korrekturfaktor 0.577 vor. Den konnte sich keiner von uns erklären. Ich finde es erschreckend, dass das offenbar bei den meisten Praktikumsauswertungen falsch gemacht wird und es keinem auffällt.

Danke dir für deine super Hilfe...

Patty

Answer 2

Hallo

 ja man nimmt immer die Angabe des Herstellers, allerdings hast du ja bei manchen Messgeräten noch einen Ablesefehler. Beispiel. ein Metermaß ist auf 0,1mm pro Meter genau, hilft dir nichts, wenn du nur auf 1mm genau ablesen kannst.  (aber dann kannst du die 0,1mm vergessen) Anders bei digitalen Messgeräten , da nimmt man die Angabe des Herstellers.

Gruß lul