zeigen dass π* injektiv ist

Question

Sei K ein Körper. Seien V und W Vektorräume über K. Sei U<= V ein Teilraum. Sei π: V → V/U der kanonische Homomorphismus und π* = (V/U)* → V die transponierte Abbildung.

Zeigen soll ich dass π* Injektiv ist.

Ich weiß, dass das äquivalent ist zu Kern(π*)=0 ⇔ Bild (π) orthogonal

Comments

Kann mir gar niemand weiterhelfen?

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Hallo EmNero,

willst du das deine Antwort auch als solche anerkannt wird (und nicht als Kommentar)?

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Da sich Sternchen123 seither nicht dazu geäußert hat würde ich es als Kommentar stehen lassen. Meine Interpretation der Aufgabe könnte auch falsch sein. Das kann uns aber nur der/die Fragensteller*in beantworten.

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@EmNero: Schade für deine Antwort. Sternchen meldet sich praktisch nie zurück https://www.mathelounge.de/user/Sternchen123/questions und die Aufgabe wird sowieso niemand besser beantworten, solange sie unvollständig ist. Schreib doch einfach "Falls die Frage .... lautet: " und dann dein Kommentar.

Answer 1

Falls du mit $\pi^* : (V/_U)^* \to V^*$ die zu $\pi$ duale Abbildung (ich kenne diese Notation nur in diesem Kontext) meinst ist das eigentlich ganz einfach:

$$\ker \pi^* = (\textrm{Bild } \pi)^0$$

Der Kern der dualen Abbildung ist der Annulator des Bilds der Abbildung

Der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also ist das Bild ganz V/U. Der Annulator des ganzen Vektorraums ist aber der Nullraum.

$$\implies (\textrm{Bild } \pi)^0=(V/_U)^0 =\{0\}$$

$$\implies \ker \pi^* =\{0\}$$

Also ist $\pi^*$ injektiv.