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Aufgabe:

Ein Laborgerät besteht aus drei wesentlichen Komponenten A, B und C, die allesamt eine expoenential-verteilte Lebensdauer besitzen. Ihre mittlere Lebensdauer ist jeweils mit 4 Jahren angegeben.

Das Laborgerät arbeitet nicht, wenn mindestens eine seiner Komponenten ausfällt. Wie lange funktioniert das Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%, wenn die Komponenten unabhängig voneinander ausfallen? [Lösung: 0,14048 Jahre]


Problem/Ansatz:

Ich dachte, ich müsste hier folgendes ausrechnen,

$$1-e^{-\frac{1}{4}*x}= 0,9$$

aber dabei kommt, wenn ich die Lösung einsetze, nicht das richtige Ergebnis heraus. Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich?


Vielen Dank vorab!

von

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Beste Antwort
(e^(-1/4·x))^3 ≥ 0.9 → x ≤ 4·LN(10/9)/3 = 0.1404806875
von 309 k 🚀

Darf ich noch fragen, wie das LN(10/9) zustande kommt? Ich bin wirklich schon 10 Jahre aus der Schule raus und kann damit nicht viel anfangen.

Der Rechner vereinfach das soweit, wie es ihm passt. Das muss man aber selber nicht machen

(e^(-1/4·x))^3 ≥ 0.9

e^(-1/4·x) ≥ (0.9)^(1/3)

-1/4·x ≥ LN((0.9)^(1/3))

-1/4·x ≥ 1/3*LN(0.9)

-1/4·x ≥ 1/3*LN(9/10)

x ≤ -4/3*LN(9/10)

x ≤ 4/3*LN((9/10)^(-1))

x ≤ 4/3*LN(10/9)

Diese Vereinfachungen würde ich selber nie beim Auflösen machen.

x ≤ -4·LN((0.9)^(1/3))

Das tut es doch ebenso.

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Aloha :)

Alle 3 Geräte A, B und C haben exponentiell verteilte Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät nach der Zeit \(t\) noch funktioiert ist also \(P(t)=e^{-\lambda\,t}\). Ihre mittlere Lebensdauer beträgt 4 Jahre. Das heißt, dass im Mittel etwa 1 Gerät alle 4 Jahre ausfällt, die Ausfallrate von A, B und C ist also \(\lambda=\frac{1}{4}\), wenn wir die Zeit in Jahren rechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Geräte A, B und C nach der Zeit \(t\) noch funktionieren ist also:$$P_{ABC}=P_A\cdot P_B\cdot P_C=\left(e^{-\lambda t}\right)^3=\left(e^{-\frac{1}{4}\,t}\right)^3=e^{-\frac{3}{4}\,t}$$Diese Wahrscheinlichkeit soll gleich 0,9 sein:$$e^{-\frac{3}{4}\,t}=0,9$$$$-\frac{3}{4}\,t=\ln(0,9)$$$$t=-\frac{4}{3}\,\ln(0,9)\approx0,14048$$

von 18 k
+1 Daumen

Das Gegenereignis von "Gerät fällt aus" ist "Gerät arbeiten noch".

"Gerät arbeiten noch" lässt sich konkret beschreiben durch

"Komponente A funktioniert noch

UND

Komponente B funktioniert noch

UND

Komponente C funktioniert noch"

von 9,1 k

Danke für die Antwort. Also das Gerät fällt aus, wenn eine der Komponenten kaputt ist. Ich suche aber einen Mittelwert, wie lange alle 3 Geräte mit 90%iger Wahrscheinlichkeit funktionieren. Also

$$3*(1-e^{-\frac{1}{4}*x})=0,9$$

Da kommt aber, wenn ich für x die Lösung einsetze leider auch nicht die richtige Lösung heraus.

Was berechnet der Ausdruck

$$ P = 1-e^{-\frac{1}{4}*x} $$

konkret für eine Wahrscheinlichkeit. Kannst du das sagen.

Und wenn du eine Wahrscheinlichkeit mal 3 nimmst, dann kann das dazu führen, dass das Ergebnis bei über 100% liegt. Ist dir das klar? Wann werden Wahrscheinlichkeiten addiert und wann werden sie multipliziert. Das sind zwei wesentliche Dinge, die dir mit den Pfadregeln vermittelt werden sollten.

Der Ausdruck berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät in x Jahren kaputt geht.

Dass 1 Gerät in x Jahren  nicht kaputt geht wäre dann $$1-(1-e^{-\frac{1}{4}*x})$$


Sorry natürlich, ich muss natürlich ^3 rechnen. Habe die Rechnung nun nachvollziehen können. Danke!!! Und dass man statt dem auch einfach 1- und 1- weglassen kann, war mir auch nicht bewusst. Bin einfach zu lange aus der Schule raus.

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