Variante des Banachschen Fixpunktsatzes

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Aussage beweisen oder widerlegen:

$$\begin{array}{l}{\text { Sei } K \subset \mathbb{R}^{n} \text { abgeschlossen und } f : K \rightarrow K \text { eine stetig differenzierbare Funktion mit }} \\ {\text { der Eigenschaft, dass }|f(x)-f(y)|<|x-y| \text { für alle } x, y \in K \text { mit } x \neq y . \text { Dann }} \\ {\text { besitzt } f \text { einen Fixpunkt. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir etwas unsicher, ob die Aussage stimmt. Ich würde sagen, ja.

Denn K ist ein abgeschlossener Unterrraum eines vollständigen metrischen Raumes, also ist K selbst vollständig. DIe Funktion f ist eine Kontraktion, da sie die Lipschitz-Bedingung mit Lipschitzkonstante kleiner 1 erfüllt.

Also sollten doch alle Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz erfüllt sein, oder?

Comments

Ja, das sollte so stimmen. Erwähnenswert ist eventuell noch, dass in der Voraussetzung des Satzes $$f: K \to K$$ gefordert und hier erfüllt ist.

Answer 1

DIe Funktion f ist eine Kontraktion, da sie die Lipschitz-Bedingung mit Lipschitzkonstante kleiner 1 erfüllt.

Nein, das kannst du aus der Eigenschaft nicht folgern. Die Lipschitzkonstante kann auch 1 sein! Ein Beispiel für n=1 ist die Funktion:

$$ f(x) = \ln(1+e^x) $$

auf \( K = \mathbb{R} \).

Für die kann man zeigen (Mittelwertsatz), dass \( \forall x,y: |f(x)-f(y)| < |x-y|\) gilt. Aber \( f \) hat offensichtlich keinen Fixpunkt da

$$ \forall x : x = \ln(e^x) < \ln(1+e^x).$$

Funktionen mit der Eigenschaft:

$$ \forall x,y: |f(x)-f(y)| < |x-y| $$

nennt man auch schwach kontrahierend. Diese sind im allgemeinen aber nicht kontrahierend.

Comments

Ahh ok danke.

Da bin ich wohl total in die Falle getappt. ;)