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Aufgabe: Beweise:

Seien a,b∈Z. a|b genau dann, wenn Vb ⊆Va.


Problem/Ansatz:

Ich muss beide Richtungen beweisen und habe wirklich keinen Schimmer wie ich das beweisen soll.

Ich würde mich über eure Hilfe freuen.

von

Hallo Nadia,

für was steht das 'Vb ⊆Va' ?

Vermutlich die Mengen der Vielfachen von a bzw. b . Das sollte aber Nadja schon noch bestätigen. Ich habe nun bei der Aufgabe noch das Wörtchen "Beweise" ergänzt. Damit man nicht denkt, dass Nadja hier erst mal eine Definition von a|b hingeschrieben hat.

Vb ⊆Va.

Das Zeichen zwischen den beiden Mengen ist nicht das Zeichen für "echte Teilmengen" und schon gar nicht für "echte Teilermenge". Die blauen Buchstaben habe ich schon mal entfernt.

Auch das Wörtchen "echte" in der Überschrift, damit sich Überschrift und Fragestellung nicht mehr widersprechen.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Nadia,

ich versuche es einfach mal und nehme an, dass z.B. \(V_a\) die Menge aller Vielfachen von \(a\) in \(\mathbb{Z}\) ist. Wenn \(V_b\) eine Teilmenge von \(V_a\) sein soll, so muss für jedes Element \(y \in V_b\) gelten, dass \(y\) auch in \(V_a\) enthalten ist. Formal in etwa:$$V_b \subseteq V_a: \space \forall y \in V_b \to y \in V_a $$Betrachtet man nun das \(y \in V_b\) so gilt$$ y = k \cdot b \quad k \in \mathbb{Z}$$Da \(a \mid b\) gilt auch$$n \cdot a = b \quad n \in \mathbb{Z}$$folglich ist $$y = k \cdot n \cdot a = l \cdot a \quad l=k\cdot n, \space l \in \mathbb{Z} \implies y \in V_a$$q.e.d.


Anders herum ist es etwas schwieriger. Die Vorgabe wäre dann \(V_b \subseteq V_a\) und daraus soll folgen, dass \(a \mid b\). Wir betrachten wieder ein Element \(y \in V_b\). Da \(y \in V_b\) und \(y \in V_a\), muss lt. Voraussetzung gelten:$$y = k \cdot b = l \cdot a \quad \forall k \in \mathbb{Z}$$Da dies für jedes Element \(y \in V_b\) gilt, muss es für jedes \(k\) ein \(l\) geben, welches obige Gleichung erfüllt. Dazu addiere ich auf beiden Seiten \(b\)$$k\cdot b + b = l \cdot a + b$$da die rechte Seite lt. Voraussetzung immer noch \(\in V_a\) ist, muss ein \(n \in \mathbb{Z}\) existieren für das gilt$$\begin{align}(k+1)\cdot b &= l \cdot a + b = (l+n) \cdot a \quad n \in \mathbb{Z} \\ l \cdot a + b &= l \cdot a + n \cdot a \\ b &= n \cdot a \\ & \implies a \mid b\end{align}$$q.e.d.

Gruß Werner

PS.: \(\subseteq\) steht für Teilmenge nicht für echte Teilmenge. Die Mengen können auch identisch sein, wenn \(a=b\) oder \(a=-b\) ist.

von 19 k

entschuldige das ich erst jetzt antworte, die Aufgabe lautet wie folgt :


 a|b genau dann, wenn Vb ⊆Va.

Voraussetzung ist also : a teilt b

Behauptung:  Vb ⊆Va.

Beweis:....

und das muss ich auch nochmal "andersrum" beweisen, d.h Behauptung und Voraussetzung "vertauscht".


Weißt du jetzt wie ich das meine ?

also eine Richtung hast du oben schon beweisen, danke :)

also eine Richtung hast du oben schon beweisen, danke :)

Nein - es sind beide Richtungen! Im ersten Teil meiner Antwort setze ich \(a\mid b\) voraus und zeige, dass dann \(V_b \subseteq V_a\) gilt. Als Antwort auf Deine Frage.

Und im zweiten Teil - ab 'Anders herum ..'. - setze ich \(V_b \subseteq V_a\) voraus und zeige dann, dass daraus \(a \mid b\) folgt.

Entschuldige, ich habe da gestern Nacht nicht mehr so durchgeblickt. Ich verstehe den ersten Beweis komplett  und den zweiten nur bis y=k⋅b= l⋅a. Warum  mit 1 addiert werden muss und geschweige der Schritt darauf verstehe ich einfach nicht... könntest du mir das noch etwas erläutern, komme einfach nicht drauf weshalb man so vorgehen muss..

Hallo Nadia,

Es gilt $$k \cdot b = l \cdot a \quad k,l \in \mathbb{Z}$$ so weit so gut.

Warum  mit 1 addiert werden muss ...

muss nicht, ich tue es einfach, um andere Faktoren vor \(a\) und \(b\) zu erhalten. Dann erhält man$$k \cdot b + b= l \cdot a + b$$Ist ja zunächst nichts falsch daran. Die linke Seite kann man umformen nach \(k \cdot b + b = (k+1)\cdot b\) womit klar ist, dass das Ergebnis immer noch \(\in V_b\) ist. Wenn aber der alle Elemente aus \(V_b\) auch in \(V_a\) enthalten sind (nach Voraussetzung!), dann muss auch der rechte Teil \((l \cdot a + b) \in V_a\) sein! Das reicht im Grunde schon, um zu zeigen, dass \(a \mid b\), da in dem Term \(l \cdot a +b\) das \(a\) als Faktor enthalten sein muss.

Ich wollte es noch ein wenig genauer machen, indem ich einen Faktor \(f=l+n\) mit \(n \in \mathbb{Z}\) eingeführt habe, für den gilt$$l \cdot a + b = f \cdot a \quad \text{da} \space (l \cdot a + b) \in V_a$$Und das gibt dann die obige Gleichung$$l \cdot a + b = (l + n) \cdot a$$wo man \(l \cdot a\) subtrahieren kann und $$b = n \cdot a \quad n \in \mathbb{Z}$$ stehen bleibt. Was nichts anderes heißt als \(a \mid b\).

Wenn es Dir besser gefällt kann man auch schreiben$$\begin{align} l \cdot a +b &= f \cdot a && \left |\, - l \cdot a\right.\\ b &= f \cdot a - l \cdot a \\ b &= (f-l) \cdot a\end{align}$$ und da \((f-l) \in \mathbb{Z}\) ist, muss auch \(a \mid b\) gelten.

Warum  mit 1 addiert werden muss ...


muss nicht, ich tue es einfach,

Könnt ihr nicht mal Beiträge genauer lesen?

Es wurde NICHT 1 addiert (und demzufolge hat er es auch -entgegen seiner Behauptung-  nicht "einfach getan").

Es wurde b addiert (und das "+1" in der Klammer ergibt sich einfach durch das Ausklammern von b.

Könnt ihr nicht mal Beiträge genauer lesen?

Ja mei - ich tue mich grundsätzlich schwer. Sowohl mit dem geschriebenen und noch mehr mit dem gesprochenen Wort. Ich bitte um Nachsicht ;-)

Würde ein echter Bayer nicht "Jo mei" sagen?

;-)

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