Integral mit partieller Integration berechnen

Question

Aufgabe:

$$\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{d} x, \text { indem Sie auf das Integral } \int 1 \cdot \frac{1}{x^{2}+4} \mathrm{d} x \text { partielle Integration anwenden. }$$

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht weiter wenn ich 1 integriere und 1/(x²+4) ableite. Kann mir jemand weiterhelfen und erklären wie man hier mit partieller Integration weiterkommt ?

Comments

Wo ist denn das Quadrat aus dem Nenner geblieben?

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Wie lautet die Aufgabe genau?

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Hier nur mal die Anwendung der Formel für die partielle Integration:

∫ 1 · 1/(x² + 4) dx = x · 1/(x² + 4) - ∫ x · (-2·x)/(x² + 4)² dx

∫ 1 · 1/(x² + 4) dx = x · 1/(x² + 4) + ∫ 2·x²/(x² + 4)² dx

Ich zweifel aber an deiner Intepretation der Aufgabenstellung. Mach mal ein komplettes Bild davon.

Answer 1

$$\int 1\cdot \frac{1}{x^2+4}dx=\frac{x}{x^2+4}+\int \frac{2x^2}{(x^2+4)^2}dx=\frac{x}{x^2+4}+\int \frac{2}{x^2+4}dx-\int \frac{8}{(x^2+4)^2}dx\\\Longrightarrow \int \frac{8}{(x^2+4)^2}dx=\frac{x}{x^2+4}+\int \frac{1}{x^2+4}dx\\\Longrightarrow \int \frac{1}{(x^2+4)^2}dx=\frac{x}{8(x^2+4)}+\frac{1}{16}arctan(\frac{x}{2})$$

im ersten Schritt: partielle Integration

im zweiten Schritt: Partialbruchzerlegung (Komplex doppelte Nullstelle)

im dritten Schritt: gleiche Integrale zusammenfassen und das gesuchte Integral isolieren

"War eine schwere Geburt"

Comments

Danke für die Antwort, aber wie kommst du in der dritten Zeile auf die Umformung ?

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Ah egal habs herausgefunden haha, danke aber vielmals !!!!

Answer 2

arctan(x/2)/2=∫ 1 · 1/(x² + 4) dx = x · 1/(x² + 4) +∫ 2·x²/(x² + 4)² dx

=x · 1/(x² + 4) +

∫ 2·(x²+4-4)/(x² + 4)² dx

=x · 1/(x² + 4) +

∫ 2/(x² + 4)² dx-∫ 8/(x² + 4)² dx

=x · 1/(x² + 4) +
arctan(x/2)-∫ 8/(x² + 4)² dx

---> -1/2 arctan(x/2) -x/(x²+4) =-∫ 8/(x² + 4)² dx

1/16 arctan(x/2) -x/[8(x²+4)] (+C) =∫ 1/(x² + 4)² dx