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Aufgabe:

Übergangsmatrix. Was ist eine Anfangsverteilung?


M = \( \begin{pmatrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} \)


Berechnen Sie aus der Anfangsverteilung

v0 = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) die Verteilungen v1 und v2

Ich verstehe diese Aufgabe nicht. Was ist eine Anfangsverteilung und warum ist die dieser Vektor v0 (1/0)?



von

2 Antworten

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Aloha :)

Eine Übergangsmatrix beschreibt, wie sich ein System, das mehrere Zustände annehmen kann, im Laufe der Zeit entwickelt. Hier hast du 2 mögliche reine Zustände, also einen 2-dimensionalen Zustandsvektor, und startest mit dem reinen Zustand \(v_0=\binom{1}{0}\). Der andere reine Zustand ist \(\binom{0}{1}\). In der Übergangsmatrix trägt man nun in der ersten Spalte ein, wie sich der reine Zustand \(\binom{1}{0}\) im nächsten Schritt entwickeln wird und in die zweite Spalte kommt rein, wie sich der reine Zustand \(\binom{0}{1}\) im nächsten Entwicklungsschritt ändern wird. Aus dem reinen Zustand \(v_0=\binom{1}{0}\) wird ein Mischzustand, denn:

$$\vec v_1=\left(\begin{array}{c}0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0,4\\0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)$$

Dieser Mischzustand entwickelt sich im zweiten Schritt nun gemäß seiner Anteile, also 0,6-mal Reinzustand \(\binom{1}{0}\) und 0,2-mal Reinzustand \(\binom{0}{1}\) weiter:

$$\vec v_2=\left(\begin{array}{c}0,6 & 0,4\\0,2 & 0,8\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)=0,6\cdot\left(\begin{array}{c}0,6\\0,2\end{array}\right)+0,2\cdot\left(\begin{array}{c}0,4\\0,8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,44\\0,28\end{array}\right)$$

Wenn man solche Berechnungen sehr oft wiederholt, kann es sein, dass sich der Mischzustand nicht mehr ändert. Dann hat man einen Gleichgewichtszustand gefunden, in dem das System stabil ist.

von 3,7 k
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Übergangsmatrix. 

Steht da vielleicht irgendwo, dass M eine Übergangsmatrix ist? Habe das Stichwort nun mal eingefügt in die Fragestellung und Überschrift.


Was ist eine Anfangsverteilung?

In der Biologie könnte das die Verteilung von zwei Populationen sein.

Vielleicht: Zuerst 100 Kühe und kein Kalb.

Nach einer "Anwendung der Übergangsmatrix" = Ein Schritt später. Gerechnet M * v0: gäbe es 60 Kühe und 40 Kälber.

usw.

Schau mal, was passiert. Vielleicht findest du eine passendere Interpretation.

von 153 k

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