Charakteristisches Polynom einer symmetrischen 2x2 Matrix. Problem?

Question

Die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie: Ist A eine eine symmetrische 2x2 Matrix über IR, so hat A reelle Eigenwerte.

Mein Problem:

Ich bin der Meinung dass das charakteristische Polynom dieser Matrix

\( \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \)

gleich χ_A(t) = t² - (a+c)*t - b² + ac ist.

Daraus tue ich mir aber schwer die Antwort auf die Aufgabe abzuleiten, da ac ja beliebe Werte aus IR annehmen kann.

Das Lösungsbuch (Lineare Algebra, Gerd Fischer), gibt aber an, das charakteristische Polynom sei

χA(t) = t² - (a+c)*t - b²

woraus sich ohne Probleme direkt die Aussage treffen lässt, die Diskriminante (a+c)²+4b² sei größer Null und somit alle Eigenwerte reell.

Aber was ist hier mit dem a*c passiert?

Ich habe das Gefühl dass ich mega auf dem Schlauch stehe, weil die Aufgabe so einfach scheint, aber ich bekomme diese a*c nicht weg. Wo ist hier mein Denkfehler gerade?

MfG

Answer 1

Du hast keinen Denkfehler. Das charakteristische Polynom ist$$\chi_A(t)= ac - t(a+c) + t^2 - b^2$$wenn Du aber nun die quadratische Gleichung \(\chi_A(t)=0\) löst, so kommt man zu:$$\begin{aligned} t_{1,2} &= \frac 12(a+c) \pm \sqrt{\frac 14 (a+c)^2 + b^2 - ac} \\ &= \frac 12(a+c) \pm \frac 12 \sqrt{(a+c)^2 + 4b^2 - 4ac} \\ &= \frac 12(a+c) \pm \frac 12\sqrt{a^2+2ac + c^2 - 4ac + 4b^2} \\ &= \frac 12(a+c) \pm \frac 12 \sqrt{a^2-2ac + c^2 + b^2} \\ &= \frac 12(a+c) \pm \frac 12 \sqrt{(a-c)^2 + b^2}\end{aligned}$$... und der Ausdruck unter der Wurzel ist stets positiv.

Gruß Werner

Answer 2

Also ich meine das hast du schon richtig gerechnet.

Dann muss wohl etwas mit der Aufgabenstellung nicht passen.