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sin5(x)cos4(x)dx=sin4(x)cos4(x)d(cos(x))=(1u2)2u4du=(12u2+1u4)du=u2u+13u3=cos(x)2cos(x)+13cos3(x) \begin{aligned} \int \frac{\sin ^{5}(x)}{\cos ^{4}(x)} d x &=-\int \frac{\sin ^{4}(x)}{\cos ^{4}(x)} d(\cos (x)) \\ &=-\int \frac{\left(1-u^{2}\right)^{2}}{u^{4}} d u \\ &=-\int\left(1-\frac{2}{u^{2}}+\frac{1}{u^{4}}\right) d u \\ &=-u-\frac{2}{u}+\frac{1}{3 u^{3}} \\ &=-\cos (x)-\frac{2}{\cos (x)}+\frac{1}{3 \cos ^{3}(x)} \end{aligned}

Problem/Ansatz:

Hier der Lösungsweg, allerdings ist mir unklar was genau bei dem zweiten Schritt passiert. Wo kommt die Klammer (1-u2)2 her ? Und warum kann man den cosinus den man ja mit u substituiert hat bei du für das u eintragen? Habe ich so sonst noch nicht gesehen.

Vielen Dank im Voraus :)

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Aloha :)

Wegen sin2(x)+cos2(x)=1\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 ist sin2(x)=1cos2(x)\sin^2(x)=1-\cos^2(x) bzw. sin4(x)=(1cos2(x))2\sin^4(x)=(1-\cos^2(x))^2.

Weiter ist ddx(cos(x))=sin(x)\frac{d}{dx}{\left(\,\cos(x)\,\right)}=-\sin(x) bzw. d(cos(x))=sin(x)dxd(\cos(x))=-\sin(x)\,dx.

sin5(x)cos4(x)dx=sin4(x)cos4(x)sin(x)dx=(1cos2(x))2cos4(x)d(cos(x))\frac{\sin^5(x)}{\cos^4(x)}\,dx=\frac{\sin^4(x)}{\cos^4(x)}\,\sin(x)\,dx=-\frac{(1-\cos^2(x))^2}{\cos^4(x)}\,d(\cos(x))Jetzt kann man schön erkennen, dass u=cos(x)u=\cos(x) substituiert wurde.

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Ich habe das mal etwas kleinschrittiger gemacht.

∫ sin(x)5 / cos(x)4 dx

Subst.
z = cos(x)
1 dz = (-sin(x)) dx
dx = -1 / sin(x) dz

∫ sin(x)5 / z4 * (-1) / sin(x) dz

- ∫ sin(x)4 / z4 dz

- ∫ (sin(x)2)2 / z4 dz

- ∫ (1 - cos(x)2)2 / z4 dz

- ∫ (1 - z2)2 / z4 dz

- ∫ (1 - 2 * z2 + z4) / z4 dz

- ∫ (1/z4 - 2/z2 + 1) dz

- ∫ (1 - 2/z2 + 1/z4)  dz

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