Volumen des Drehkörpers: f: 4x^{2}-9y^{2}=36 mit x in [-5/5]

Question

Aufgabe/Problem:

Berechnen jeweils das Volumen des Drehkörpers ,der bei Drehung der Kurven im angegebenen Intervall um die x-Achse bzw. um die y-Achse entsteht

f: 4x^2-9y^2=36

mit x in [-5/5]

Vielen Dank für Ihre Hilfe! 

Ich habe das probiert:

x^2=36/4+9y^2/4

integrieren ohne 1/4:

36y+9y^3/3

Und berechnen im intervall: -5/5

180+375=555

-180-375=-555

Die Antwort im Buch ist : Vx=13.04 pi

Vy=76.44pi

Comments

4x²-9y²=36 ist die Funktionsgleichung einer Ellipse mit den Halbachsen 3 und 2. Das ist falsch, daher auch der Rest. Das Volumen des Rotationskörpers ist bei Ratation um die x-Achse ebenso groß, wie bei Rotation um die y-Achse, zumal die Integrationsgrenzen außerhalb der Halbachsen liegen:

Auflösen der Ellipsengleichung nach y: f(x)=±2·√((9-x²)/3)

π·∫f²(x) dx = π·∫(4·(9-x²)/9)dx=π·4x(27-x²)/27)

Einsetzen der Grenzen x=-3 und x=3 ergibt das Volumen 16π.

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4x2-9y2=36 ist die Funktionsgleichung einer Ellipse

Das fängt nicht gut an.

Answer 1

Die Figur sieht bei mir derzeit so aus

Rotationskörper um die x-Achse zwischen
x = -3 bis 3 berechnen ?

Comments

x in [-5/5]

Wäre auch seltsam sonst.

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176 / 27 * PI ist das Volumen zwischen 3 und 5

Für links dasselbe.

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Die Antwort im Buch ist :
Vx=13.04 pi
Meine Antwort
176 / 27 * PI * 2 = 6.052 * PI * 2 = 13.04 PI

Bei der Rotation um die y - Achse habe ich
die Umkehrfunktion gebildet
4x^2-9y^2=36  zwischen 3 und 5
Umkehrfunktion
4 y^2 - 9 * x^2 = 36
4 y^2 =  9 * x^2 + 36
f ( x ) = √ ( 9 * x^2 / 4 + 9 ) zwischen 0 und 8/3

∫ [ f ( x ) ]^2 dx zwischen 0 und 8/3
V (x ) = 344 / 9 * PI
V ( x ) = 120.08
einmal oberhalb der x-Achse , einmal unterhalb
V ( x ) = 240.16
entspricht der Buchlösung
Vy=76.44 * pi

Bei Bedarf nachfragen.
Du sollst nicht unwissend sterben.

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Vielen Dank für die Antwort ,aber warum 3/5 nicht -5/5?

Wenn du dir meine Skizze ansiehst wird bei Rotation
um die x-Achse ein Drehkörper zwischen -5 .. -3
und 3 .. 5 entstehen.

Answer 2

$$\large V_x=2\pi\int_3^5\tfrac49(x^2-9)\,\mathrm dx=\tfrac{352}{27}\pi.$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort ,aber warum 3/5 nicht -5/5?