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Aufgabe:

Münze wird n mal geworfen. Wir wollen p bestimmen, also die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis Kopf.

X1 , .... Xn sind Zufallsvariablen, wobei Xi = 1 ist, wenn im i-ten Wurf Kopf fällt und sonst 0.

Wir schätzen p durch den Schätzer p* ab:


p*(X1. .....Xn) = 1ni=1nXi\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_i



Geben sie mittels des zentralen Grenzwertsatzes eine Näherungsformel in Abhängigkeit von p und n an für die Wahrscheinlichkeit, das p* von p um mehr als 0.05 abweicht.


Problem/Ansatz:

Also ich habe folgendes aufgestellt:


P(1ni=1nXi<p)0,05P(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_i < p) ≥ 0,05


<=> 1P(1ni=1nXip)0,051- P(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_i ≥ p) ≥ 0,05   | dann hier umformen um den ZGS anzuwenden


<=> 1P(1ni=1nXinpnp(1p)pnpnp(1p))1-P(\frac{\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_i -np}{\sqrt{np(1-p)}} ≥ \frac{ p-np}{\sqrt{np(1-p)}})


Was wir dann ja mit Φ beschreiben können:


<=> 1Φ(pnpnp(1p))0,051- Φ( \frac{ p-np}{\sqrt{np(1-p)}}) ≥ 0,05


ist das so richtig und bin ich damit schon fertig ?

Brauche DRINGEND Hilfe/Ratschläge hierbei.

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1 Antwort

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Hi,

Die Wahrscheinlichkeit, dass p=1ni=1nxi p^\star = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i umd mehr als α=0.05 \alpha = 0.05 von p p abweicht ist die

P{pp>0.05} P\{ | p^\star - p | > 0.05 \} Weiter gilt

(1)P{pp>α}=1P{ppα}=1P{αppα} (1) \quad P\{ | p^\star - p | > \alpha \} = 1 - P\{ | p^\star - p | \le \alpha \} = 1 - P\{ - \alpha \le p^\star - p \le \alpha \}  

Nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt, das die Größe

i1nxinpnp(1p)=1ni=1nxipp(1p)n=ppp(1p)n \frac{ \sum_{i_1}^n x_i -n p }{ \sqrt{n p (1-p) } } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - p }{ \sqrt{ \frac{ p (1-p) }{ n } } } = \frac{ p^\star - p }{ \sqrt{ \frac{ p (1-p) }{ n } } } standardnormalverteilt ist.

Also folgt

(2)P{pp>α}=1Φ(z)+Φ(z)=2(1Φ(z)) (2) \quad P\{ | p^\star - p | > \alpha \} = 1 - \Phi(z) + \Phi(-z) = 2 ( 1 - \Phi(z) ) mit z=αp(1p)n z = \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1-p) }{ n } } }

In Summe gilt also


P{pp>α}=2[1Φ(αp(1p)n)] P\{ | p^\star - p | > \alpha \} = 2 \left[ 1 - \Phi \left( \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1-p) }{ n } } } \right) \right] wobei Φ() \Phi() die Standarnormalverteilungsfunktion ist.

Avatar von 39 k

Wie genau kommst du bei der (2) darauf, dass du einmal phi(-z) hast ? Den Schritt versteh ich nicht ganz

P{pp=1P{αppα}=1P{αp(1p)nppp(1p)nαp(1p)n}=1[Φ(z)Φ(z)]=1Φ(z)+Φ(z) \quad P\{ | p^\star - p | = 1 - P\{ - \alpha \le p^\star - p \le \alpha \} = \\ 1 - P \left\{ - \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n } } } \le \frac{ p^\star - p } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n } } } \le \frac{ \alpha } { \sqrt{ \frac{ p (1 - p) }{ n } } } \right\} = \\ 1 - \left[ \Phi(z) -\Phi(-z) \right] = 1 - \Phi(z) + \Phi(-z)

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