Partielle Differentialgleichung mit Anfangs-Randwertproblem bei einer Schwingenden Saite

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangs-Randwertproblem einer schwingenden Saite mit

u_t = u_xx  , 0 ≤ x ≤ π  , 0 ≤ t

Einspannbedingung:         u(0,t) = u(π,t) = 0    , 0 ≤ t

Anfangsgeschwindigkeit: u_t(x,t)|_t=0 = 0

Anfangsauslenkung:

u(x,0) =        2/π * x  für 0 ≤ x ≤ π/2  und 

                   -2/π * x + 2 für π/2 ≤ x ≤ π

Problem/Ansatz:

ich muss leider zugeben, dass mir hierzu nicht viel einfällt. Was muss man denn da mit den ganzen Anfangswerten machen? Und was bedeutet die Schreibweise bei der Anfangsgeschwindigkeit? In meinem Skript finde ich kein annähernd ähnliches Beispiel und in meinem Mathebüchern (vom Herrn Papula) werden partielle Differentialgleichungen überhaupt nicht thematisiert.

Vielen Dank vorab für jede Antwort.

Answer 1

bei solchen Aufgaben machst du immer erst einen Separationsansatz.

Eigentlich ist das die Wärmeleitungsgleichung, aber naja ist ja gegeben XD

$$u(t,x)=f(x)g(t)$$

Einsetzen in die DGL liefert

$$f(x)g'(t)=f''(x)g(t)\\ \frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{g'(t)}{g(t)}$$

Die Seiten der Gleichung hängen nur von jeweils einer Variablen. Wenn du links t variierst, ändert sich rechts der Wert nicht. Also sind beide Seiten konstant.

$$\frac{f''(x)}{f(x)}=-\lambda\\ f''(x)=-\lambda f(x)\\$$

$$\frac{f''(x)}{f(x)}=-\lambda\\ f''(x)+\lambda f(x)=0\\$$

Eine Lösung gibt es nur für Lambda >=0, da sonst keine Schwingung entsteht.

Daher kannst du $$\lambda:=k^2$$ setzen und die Lösung der DGL lautet dann

$$f(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)$$

Aufgrund der Randbedingung u(0,t)=0 ist B=0.

Aufgrund der Randbedingung u(pi,t)=0 gilt

Asin(kpi)=0

--->k∈ℕ

$$f(x)=Asin(kx)$$

Die andere DGL ergibt

$$g'(t)=-\lambda g(t)\\ g(t)=Ce^{-\lambda t}=Ce^{-k^2 t}$$

Damit lautet eine homogene Lösung

$$u_k(x,t)=sin(kx)e^{-k^2t}$$

Die inhomogene Lösung kannst du mit Fourierreihen erhalten.

Da geht dann die Anfangsauslenkung ein.

Answer 2

Die ungespannte Sehne verliefe geradlinig zwischen dem Punkt (0,0) und dem Punkt (π,0)

In der Mitte (bei x=π/2) wird sie nun nach oben ausgelenkt. so dass sie von 0 bis π/2 den positiven Anstieg 2/π und von π/2 bis π den negativen Anstieg -2/π hat.

Einspannbedingung:        u(0,t) = u(π,t) = 0    , 0 ≤ t

bedeutet, dass zu JEDEM Zeitpunkt t die Auslenkung an den Stellen 0 und π immer gleich 0 bleibt (da ist sie ja fest eingespannt).

Die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 ist an jeder Stelle x zwischen  0 und π ebenfalls mit 0 vorgegeben (die Saite wird bis dahin festgehalten, also bewegt sie sich noch nicht (das gilt für jede beliebige Stelle x)

Für die eigentliche Aufgabe müsstest du noch eine Differenzialgleichung haben, mit deren Hilfe du

für jede Stelle x der Saite 
UND
für jeden beliebigen Zeitpunkt die Auslenkung an jeder Stelle berechnen kannst.

Comments

Hallo Abakus,

vielen Dank erstmal für deine Antwort. Soweit leuchtet mir das Alles ein. Leider stehe ich scheinbar auf dem Schlauch wie ich mit diesem Wissen meine Gleichung löse. Vielleicht verstehe ich auch einfach nicht richtig, was die Lösung der DGL eigentlich genau darstellen soll.

---

Ich hatte nachträglich noch folgendes ergänzt:

Für die eigentliche Aufgabe müsstest du noch eine Differenzialgleichung haben, mit deren Hilfe du

für jede Stelle x der Saite 
UND
für jeden beliebigen Zeitpunkt die Auslenkung an jeder Stelle berechnen kannst.

---

Ich habe die Aufgabe vollständig abgeschrieben, wie sie mir vorliegt. Ich hätte Gedacht, dass u_t = u_xx  diese DGL wäre. Wenn ich das richtig verstanden habe, ist das die Kurzform für δu(x,t)/δt =δ2u(x,t)/δx2 . Oder benötige ich da noch etwas? An meinem Skript beiße ich mir leider die Zähne aus...

---

An meinem Skript beiße ich mir leider die Zähne aus...

Dann hilft vielleicht eine Suchmaschine deiner Wahl mit
"DGl schwingende Saite".

---

Die DGL ist in der Aufgabenstellung gegeben, mehr ist nicht nötig.