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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Hauptnormalenvektor von c(t)=\( \begin{pmatrix} 1\\t\\t^3 \end{pmatrix} \)


Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich den Tangenteneinheitsvektor bestimmt, also einfach \( \begin{pmatrix} 1\\t\\t^3 \end{pmatrix} \) einmal nach t ableiten und das dann durch den betrag teilen. Damit erhalte ich: T(t)=\( \begin{pmatrix} 0\\1\\3t^2 \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{sqrt(1+9t^4)} \).

Dann, um den Hauptnormalenvektor zu berechnen, leite ich T(t) nach t ab und erhalte somit \( \begin{pmatrix} 0\\0\\6t \end{pmatrix} \) * \( \frac{1}{6t} \)  ( \( \frac{1}{sqrt(1+9t^4)} \) sollte sich ja rauskürzen). Und somit \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) .

Mein Problem nun ist, dass das ja eigentlich nicht stimmen kann, da das Skalarprodukt \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) · \( \begin{pmatrix} 0\\1\\3t^2 \end{pmatrix} \) ja nur für t=0 0 ist. Aber der Hauptnormalenvektor sollte doch immer orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor sein, oder nicht?

Bitte um Hilfe.

von

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Aloha :)

Du musst auch den Normierungs-Vorfaktor nach der Zeit \(t\) ableiten...

von 4,4 k
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Du musst T(t) richtig nach der Zeit ableiten. und dann normieren. Beim Ableiten musst du die Produktregel verwenden.

Warum soll da (0,0,1) rauskommen? Das wäre zu einfach.

von 33 k

Dann komme ich auf:

\( \begin{pmatrix} 0\\-18t^3/(1+9t^4)^(3/2)\\6t/(1+9t^4)^(3/2) \end{pmatrix} \) und das ganze eben noch durch den Betrag davon teilen. Aber das wird ja dann extrem komplex oder nicht?

Und dann würde ja immernoch nicht 0 rauskommen beim skalarprodukt solange das t nicht 0 ist.

Die Berechnung des begl. Dreibeins ist meist komplex, auch bei einfachen Kurven.

Du kannst das so rechnen, musst aber kompliziert ableiten. Einfacher:

Nimm die Formel von

https://de.wikipedia.org/wiki/Frenetsche_Formeln#Frenetsche_Formeln_in_Abh%C3%A4ngigkeit_von_anderen_Parametern

welche nur Ableitungen von c(t) enthält. Die Kreuzprodukte sind einfach, da einige Komponenten 0 sind.

Ich komme damit auf

$$n(t)=\frac{\begin{pmatrix} 0\\-18t^3\\6t \end{pmatrix}}{6|t|\sqrt{1+9t^4}}$$

Wenn du deinen obigen Vektor normierst solltest du auch darauf kommen.

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