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Aufgabe:

Sei R:={1;0}.
Welche Abbildungen hat der Ring (R;+;*)?

Problem/Ansatz:

{1+0*0}
{1+0*1}
{1+1+0}
111
000
001
010
011

Ist das so richtig?

von

Abbildungen von wo nach wo ?

Vom Ring auf sich ?

Einfach nur Abbildungen oder

Ringhomomorphismen ?

Da wir Ringhomomorphismen (noch) nicht hatten, wohl nicht.

Keine Anhung, wohin ein Ring abgebildet wird, wird der nicht immer auf sich selber abgebildet?

Also RxR->R

Bei einer Gruppe ist mir klar, was "abgebildet" wird.

+:RxR->R ist +(a,b):=a+b
*:RxR->R ist +(a,b):=a*b

Aber was ist denn das für einen Ring?
(a+b)*c?

In der Aufgabe gibt es nur zwei Elemente, ist ein (a+a)*a überhaupt vorgesehen, bei einem Ring?
Leider hatten wir keine solchen Beispiele :-(

Sei R:={1;0}. Welche Abbildungen hat der Ring (R;+;*)?

Ist das der Originaltext auf Deutsch?

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich interpretiere es jetzt mal so:

Wie kann man die Abbildungen + und * definieren, damit

(R,+,*) ein Ring wird.

Es muss ein neutrales Element der Addition geben, dieses sei 0.

Dann ist 0+1=1+0=0+0=0

und für die Addition bleibt nur der Fall 1+1 = ? offen.

Das muss aber gleich 0 sein, da 1 ein inverses Element in R braucht.

Damit ist + vollständig festgelegt:

        +         0       1
                  ----------------
        0     |    0       1
        1     |    1       0

Bei * weiß man in jedem Ring, dass  0*x = 0 für alle x∈R

(ggf. Beweis mittels Distributivität)

Bleibt also nur noch zu klären, was 1*1 sein soll.

Ich habe so das Gefühl, dass man als Ergebnis sowohl mit

der 1 als auch mit der 0 klar kommt, dass also bei beiden

Definitionen die Ringaxiome erfüllt sind (musst du mal nachprüfen).

Demnach gibt es für die Abbildung + nur eine mögliche Definition, aber für

* gäbe es zwei, eine mit 1*1=0 und eine mit 1*1=1.

von 177 k 🚀

Vielen Dank für deine Sichtweise :-)

Mir fehlte auch das Inverse Element bei der Addition zu der "1", denn "-1" ist ja nicht in der Menge enthalten.

Insofern handelt es sich gar nicht um einen Ring.

Die Aufgabe ist aus einer Klausur aus dem Gedächtnis aufgeschrieben, das muss wohl falsch wieder gegeben worden sein.

Das inverse Element zu 1 ist 1. Denn 1+1=0 (siehe oben).

Ist schon ein Ring, es ist eben  1 = -1 d.h.

1 ist zu sich selbst das additive Inverse.

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