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Beim Untersuchen von der 1. Ableitung wird in meiner Literatur gesagt
"Wenn die erste und zweite Ableitung beide Null sind, so kann durch eine Untersuchung der ersten Ableitung auf Vorzeichenwechsel zwischen Hoch- Tief- und Sattelpunkten unterschieden werden."

Was ist mit "Untersuchung auf Vorzeichenwechsel" gemeint?
Eine Untersuchung des gezeichneten Graphen?
Oder ist es möglich mathematisch das Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung zu bestimmen?

Mein Ansatz wäre einfach ein Vergleich zu nehmen bei dem ich 2 Werte einsetze die Kleiner bzw. Größer als der x-Wert des Extremum wäre.

z.b nehmen wir an unser Extremum liegt bei x = 0

f'(-20) < f'(0) < f'(20) => Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv wäre dann Tiefpunkt.


Ist das mit "Untersuchung auf Vorzeichenwechsel" gemeint oder gibt es eine andere Mmöglichkeit Vorzeichenwechsel zu untersuchen?

von

2 Antworten

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Hallo,

ich erkläre es anhand eines Beispiels:

Betrachte \(f(x)=-\frac{1}{4}x^3+3x\). Diese Funktion hat m√∂gliche Extrema bei \(\pm 2\). Wir √ľbpr√ľfen nun \(x_E=2\) und schauen, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt. Daf√ľr stelle ich immer eine Tabelle auf:

blob.png

Falls die Steigung positiv ist, zeichne ich einen Strich nach oben, wenn die Steigung neutral (heißt 0) ist, dann eine steigungslose Gerade und wenn die Steigung negativ ist, dann einen nach unten. Du erkennst jetzt schon den Verlauf der Kurve und weißt, dass bei \(x_E=2\) ein Hochpunkt liegt.

von 15 k

Ich warne vor diesem Vorgehen. Es gen√ľgt maximal zum Gewinnen einer Vermutung.

Selbst wenn du das betrachtete Intervall durch Verwendung von 1,99999 und 2,00001 wesentlich schmaler machen w√ľrdest, hast du keine Gew√§hr, dass innerhalb dieses schmalen Intervalls nicht noch mehrfache √Ąnderungen des Verhaltens der Funktion passieren k√∂nnten.

Ich kann dir die Angst etwas nehmen: Polynome, die nicht unbedingt den Grad \(n=100\) haben, sind ziemlich freundlich diesbez√ľglich und in der Schule sowieso.

Selbst wenn du das betrachtete Intervall durch Verwendung von 1,99999 und 2,00001 wesentlich schmaler machen w√ľrdest, hast du keine Gew√§hr, dass innerhalb dieses schmalen Intervalls nicht noch mehrfache √Ąnderungen des Verhaltens der Funktion passieren k√∂nnten.

Weierstraß-Funktion :D

Ich kann dir die Angst etwas nehmen: Polynome, die nicht unbedingt den Grad n=100 haben, sind ziemlich freundlich diesbez√ľglich und in der Schule sowieso.

Völlig richtig.

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur daf√ľr zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschlie√üt.

Und im Rahmen aller Schulaufgaben bei mir und meinen Sch√ľlern hatte ich bisher nie ein Polynom, bei dem zwei Nullstellen einen Abstand von weniger als 0.1 Einheiten hatten.

Und Sch√ľler die Weierstra√ü- und √§hnliche Funktionen Untersuchen w√ľrden hier auch nicht solche Fragen stellen. Bis dahin sollte man schon ein Mindestma√ü an Verst√§ndnis f√ľr Funktionen und deren Untersuchung aufgebaut haben.

Und im Rahmen aller Schulaufgaben bei mir und meinen Sch√ľlern hatte ich bisher nie ein Polynom, bei dem zwei Nullstellen einen Abstand von weniger als 0.1 Einheiten hatten.

Meine Sch√ľler hatten so etwas schon, um ihnen genau diese dumme Trivialmathematik auszutreiben und um stattdessen kritischen Vernunftsgebrauch nahezubringen.

Weißt du, wie man dden Vorzeichenwechsel an einer Stelle formal definiert? Wenn du dieses Verfahren als "Trivialmathematik" bezeichnest, dann ist die gesamte Analysis auf Trivialität aufgebaut.

Weißt du, wie man den Vorzeichenwechsel an einer Stelle formal definiert?

Du wei√üt es offensichtlich nicht. Sonst w√ľrdest du nicht die sinngem√§√üe Aussage "in der Schulmathematik passiert es nie, dass Nullstellen so eng beieinanderliegen" als Argument akzeptieren.


Enttäuschend.


√úbrigens: Obwohl der Mathecoach mir widersprochen hat, hat er mir ungewollt recht gegeben:

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur daf√ľr zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschlie√üt.

Diesen Nachweis habe ich bei deiner Beispielaufgabe nicht gesehen.

Enttäuschend ist das du nicht verstehst, dass wenn man bei einem Polynom die Nullstellen berechnen hat dann auch weiß wie nahe sie beieinander liegen.

Wie ich bereits sagte

Bei Polynomen langt es mit dem Intervall links bis rechts der Nullstelle nur daf√ľr zu sorgen das man nicht mehr als eine Nullstelle einschlie√üt.

Die Erg√§nzung meines Kommentars und dein Kommentar haben sich gerade zeitlich √ľberschnitten.


Du hast völlig recht.

Deshalb: Kannst du im Beitrag von rc irgendwo lesen, dass er dein Argument explizit erwähnt hat?

@rc:

Lassen wir mal den Coach beiseite und untersuchen anhand deines Beispiels f(x)=-0,25x¬≥+3x , wie eine mathematisch akzeptable Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums f√ľr die Stelle x=2 aussehen k√∂nnte.

Die Ableitung ist f'(x)=-0,75x²+3 , und sie hat an der Stelle x=2 den Wert 0.

Variante 1:

F√ľr x >2 ist x¬≤>4 , also ist  -0,75x¬≤<-3 und somit -0,75x¬≤+3<0.
Das kann man Sch√ľlern zumuten, oder?

F√ľr x<2 ist nicht immer x¬≤<4 (bei x<-2 ist x¬≤>4), aber uns interessiert ja nur die unmittelbare Umgebung von x=2. Da gen√ľgt das Intervall 0<x<2.

Dort ist x¬≤<4 , also ist  -0,75x¬≤>-3 und somit -0,75x¬≤+3>0.

Fazit: Rechts von x=2 gilt f'(x)<0, und links von x=2 gibt es ein Intervall, in dem komplett f'(x)>0 gilt. Also hat f'(x) an der Stelle x=2 einen Vorzeichenwechsel und f(x) demzufolge dort eine Extremstelle.

Variante 2: Die Ableitungsfunktion  f'(x)=-0,75x¬≤+3  hat als Graphen eine nach unten ge√∂ffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0|3). Damit hat sie zwischen x=0 und der Nullstelle x=2 positive Werte, bei x=2 den Wert 0 und f√ľr x>2 negative Werte 
--> Vorzeichenwechsel von f'(x) an der Stelle 2.

Beide Varianten sind in meinen Augen absolut zul√§ssig und ich wei√ü sehr wohl, wie der Vorzeichenwechsel definiert ist, allerdings bin ich auch ein Freund der Simplizit√§t und √ľberkompliziere Dinge nur bis zu einem Grad, der auch wirklich vonn√∂ten ist. Dahingehend wei√ü ich, dass eine Funktion der Bauart \(f(x)=-0.25x^3+3x\) keine "unvorsehbaren" Kurvenverl√§ufe hervorbringt - wobei man ja sogar die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann.

Eine Frage an dich: Wie w√ľrdest du bei dieser Funktion die Wendestellen ermitteln?

f(x) = - 0.25¬∑x^3 + 3¬∑x

ist eine punktsymmetrische Polynomfunktion aufgrund der ungeraden Potenzen von x. Daher ist ein Wendepunkt der Koordinatenursprung. Da ein Polynom 3. Grades nur 2 Extrempunkte und nur einen Wendepunkt haben kann hat man den gefunden ohne irgendwas zu rechnen.

... und was bedeutet das f√ľr die lokalen Extrema?

Abakus prahlt in seinem Kommentar mit Wissen √ľber quadratische Funktionen und Fachtermini, w√§hrend er simultan so tut, als seien ihm Polynome fremd.

Echt jetzt? Du bist auch viel alleine, oder?

Schluss, ich muss morgen fr√ľh raus.

f(x) = - 0.25·x^3 + 3·x

Grunds√§tzlich verl√§uft die Funktion fallend von +‚ąě nach -‚ąě. Das erkennt man an dem negativen Leitkoeffizienten.

Der Koordinatenursprung wird allerdings steigend durchlaufen. Damit hat man zwangsweise einen Tiefpunkt im III Quadranten und punktsymmetrisch dazu einen Hochpunkt im ersten Quadranten.

Auch das erkennt man ohne eine jegliche Rechnung.

√úbrigens erkennt man Nullstellen mit Vorzeichenweches immer an ungeraden Vielfachheiten dieser Nullstelle.

Damit weiß man welche Nullstellen ein Vorzeichenwechsel haben und welche keine. Wenn man bei einem Polynom jetzt alle Nullstellen und das Verhalten im Unendlichen kennt, kann man sofort auch durch abzählen die Art des Vorzeichenwechsels angeben.

Schluss, ich muss morgen fr√ľh raus.

Falls du in irgendeiner Hinsicht noch etwas hinzuf√ľgen m√∂chtest: √úber den Chat oder per Mail.

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