Lokale Maxima/Minima einer Funktion

Question

Aufgabe:

f: (0,2) -> R       f(x) = cos(ln(x))

Problem/Ansatz:

Ableitung : Kettenregel

äußere Funktion: u(x) cos(x)  u'(x) = -sin(x)

innere Funktion: v(x) = ln(x)   v'(x) = 1/x

Innere * äußere Ableitung

f'(x) = - (1/x)  * sin(ln(x))

jetzt muss ich die Nullstellen finden: f'(x) = 0

- (1/x)  * sin(ln(x)) = 0   I e^(0)

= - (1/x)  * sin(e^(ln(x))) = e^(0)

= - (1/x)  * sin(x) = 1   => und hier komme ich nicht mehr weiter

Bitte euch um Hilfe.

LG

Comments

muss ich e^(sin(ln(x))) machen?

kommt da dann trotzdem x raus oder fällt dann alles weg?

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Vielleicht noch die Überlegung den Satz vom
Nullprodukt anzuwenden

- (1/x)  * sin(ln(x)) = 0 

- (1/x ) kann nicht null werden: Also
reduziert sich die Aussage auf

sin(ln(x)) = 0

Answer 1

Die Nullstellen vom sin sind die Vielfachen von pi.

Also sowas wie n*π  mit n∈ℤ.

Also hast du   ln(x) = n*π

also   x = e^(n*π)  mit n∈ℤ.

Ich sehe gerade Definitionsbereich 0 bis 2, also

nur n≤0.

Answer 2

Aloha :)

Deine Ableitung $f'(x)=-\frac{1}{x}\sin(\ln(x))$ ist richtig. Wenn du weißt, dass der Sinus genau für alle ganzzahligen Vielfache von $\pi$ gleich $0$ ist, findest du:

$$f'(x)=0$$$$-\frac{1}{x}\sin(\ln(x))=0$$$$\sin(\ln(x))=0$$$$\ln(x)=\mathbb{Z}\pi$$$$x=e^{\mathbb{Z}\pi}$$Für $\mathbb{Z}$ kannst du theoretisch irgendeine ganze Zahl einsetzen. Da dein Definitionsbereich aber auf $[0;2]$ beschränkt ist, kommen nur $z\in\mathbb{Z}^{\le0}$ in Frage, also:$$x\in\left\{1\,,\,\frac{1}{e^\pi}\,,\,\frac{1}{e^{2\pi}}\,,\,\ldots\right\}$$