Kern(f)=Kern(f*) wenn f normal ist

Question

Sei (V,b) ein endlich dimensionaler unitärer Raum und sei f:V→V eine lineare Abbildung, die normal bzgl. b ist.

a) Zu zeigen: Kern(f)=Kern(f*), wobei f* die adjungierte Abbildung ist.

f ist normal, also ff*=f*f und es gilt gemäß Vorlesung Bild(f*)=Kern(f)^⊥ und Bild(f)^⊥= Kern(f*) also ist

dim(Kern(f))= dim V - dim(Bild(f)) = dim(Bild(f)^⊥)=dim(Kern(f*))

b) Ist f nilpotent, so gilt f=0.

Sei A die Abbildungsmatrix von f. Dann ist AA*=A*A und da A nilpotent ist, ist 0 der einzige Eigenwert von A. Da A normal ist gibt es eine orthogonale Matrix T ∈ SO(n) mit T^-1AT=D, wobei D eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen. Da 0 der einzige Eigenwert ist muss D=0nxn sein. Also ist

A=TDT^-1= T0T=0

Da A=0 ist folgt also f=0 .

Stimmen die Beweise so? Und kann ich den Beweis bei b) auch ohne Abbildungsmatrix zeigen und wenn ja wie?

Answer 1

Ich hätte (a) so beweisen:

Wenn \( f \) normal ist, also \( f \circ f^\star = f^\star \circ f \) gilt, folgt

$$ \left< f(v) , f(w) \right> = \left< v , (f^\star \circ f) (w) \right>  = \left< v , (f \circ f^\star) (w) \right>  =  \left< f^\star(v) , f^\star(w) \right> $$ Sei nun \( v \in \text{Kern}(f) \), dann gilt

$$  || f(v) ||^2 = \left< f(v) , f(v) \right> = \left< f^\star(v) , f^\star(v) \right> = || f^\star(v) ||^2  $$ D.h. $$  f(v) = 0  \Leftrightarrow f^\star(v) = 0 $$

Also gilt $$  \text{Kern}(f) = \text{Kern}(f^\star)   $$

Du hast nur bewiesen das die Dimensionen der beiden Kerne übereinstimmen.

Comments

Sei \( f \) nilpotent zum Index \( n \ge 2 \), d.h. \( f^n = 0 \) und sei \( g = f^{n-1} \) dann folgt, \( g^2 = f^{n-1} \circ f^{n-1} = f^{2n - 2} = 0 \) weil \( n \ge 2 \) gilt.

Betrachte nun

$$ \|  (g^\star \circ g)(x) \|^2 = \left< (g^\star \circ g)(x) , g^\star \circ g)(x)  \right> = \\ \left< x , (g^\star \circ g \circ g^\star \circ g)(x)  \right> = \left< x , (g^\star \circ g^\star \circ g \circ g)(x)  \right> = 0 $$ also gilt \( g^\star \circ g = 0 \)

Aus $$  \|  g(x) \|^2 = \left< g(x) , g(x) \right> = \left< x , (g^\star \circ g)(x) \right> = 0 $$ folgt \( g = f^{n-1}= 0 \) Das kann man fortsetzten und bekommt \( f = 0 \)

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Danke du hast mir sehr weitergeholfen!

Kannst du mir sagen, ob der Beweis bei b) auch so stimmt wie ich ihn gemacht habe?

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Ich würde sagen die b) stimmt auch so bei dir, weil wir hatten eine ähnliche Aufgabe in der Übung, da haben wir die so gemacht. Allerdings war bei uns vorgegen, dass die Matrix A nilpotent und normal ist.

Daher würde mich auch interessieren, ob das wirklich  auch hier so stimmt und man die Aufgabe gleich lösen kann??