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Sei a1 = 2 und an+1 = (a2+1) / (2an) für n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Folge

(an)n∈N nach unten durch 1 beschränkt ist. Zeigen Sie weiter, dass die Folge

monoton fallend ist. Begründen Sie, warum die Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Hat wer einen Ansatz hier zu und kann mir das erklären?

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$$\text{Sei }a_1=2\text{ und }a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n}\text{ für } n\in\mathbb N.$$(1)  Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass für alle \(n\) gilt \(a_n>0\).
(2)  Zeige, dass die Folge nach unten durch  1  beschränkt ist.$$a_{n+1}-1=\frac{a_n^2+1}{2a_n}-1=\frac{a_n^2+1-2a_n}{2a_n}=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}\geq0.$$Daraus folgt \(a_{n+1}\geq1\).
(3)  Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2+1}{2a_n}-a_n=\frac{a_n^2+1-2a_n^2}{2a_n}=\frac{1-a_n^2}{2a_n}\leq0.$$Daraus folgt \(a_{n+1}\leq a_n\).
(4)  Da die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, existiert der Grenzwert \(c\) der Folge und es gilt$$1\leq c=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2+1}{2a_n}.$$Es folgt$$c=\frac{c^2+1}{2c}\Rightarrow2c^2=c^2+1\Rightarrow c^2=1\Rightarrow c=1.$$
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