$$\text{Sei }a_1=2\text{ und }a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n}\text{ für } n\in\mathbb N.$$(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass für alle \(n\) gilt \(a_n>0\).
(2) Zeige, dass die Folge nach unten durch 1 beschränkt ist.$$a_{n+1}-1=\frac{a_n^2+1}{2a_n}-1=\frac{a_n^2+1-2a_n}{2a_n}=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n}\geq0.$$Daraus folgt \(a_{n+1}\geq1\).
(3) Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2+1}{2a_n}-a_n=\frac{a_n^2+1-2a_n^2}{2a_n}=\frac{1-a_n^2}{2a_n}\leq0.$$Daraus folgt \(a_{n+1}\leq a_n\).
(4) Da die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, existiert der Grenzwert \(c\) der Folge und es gilt$$1\leq c=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2+1}{2a_n}.$$Es folgt$$c=\frac{c^2+1}{2c}\Rightarrow2c^2=c^2+1\Rightarrow c^2=1\Rightarrow c=1.$$
