Ich verzweifle grad an diesen beiden Aufgaben. Könnte mir eventuell jemand erklären wie ich die Stetigkeit it dem Folgenkriterium hier am besten untersuche? Ich habe generell schon probleme die Stetigkeit nachzuweisen aber diese beiden Aufgaben mit 2 variablen sowie einem vektor? bringen mich zum verzweifeln.
Untersuchen Sie die Funktionen f und g auf Stetigkeit
$$ \text { a) } f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}}}{x}, \mathrm{e}^{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {(0,1),} & {\text { sonst. }}\end{array}\right. $$
$$ \text { b) } g : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto g(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{\ln \left(x^{2}+y^{2}\right),} & {(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {\text { sonst. }}\end{array}\right. $$
$$ \begin{array}{l}{\text { Bestimmen Sie alle Punkte }(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \text { in denen die Funktion }} \\ {\qquad h : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto h(x, y) :=\left\{\begin{array}{cl}{\left(\frac{e^{z}+y^{3}}{y}\right),} & {\text { für } y \neq 0} \\ {\left(\frac{1}{0}\right),} & {\text { für } y=0} \\ {\text { stetig ist. }}\end{array}\right.}\end{array} $$
Ergänzung zu h. "Bruchstriche" wegdenken. Das sollen Vektoren sein. Vgl. Kommentare
