Wenn B eine Basis des V ist, dann besitzt jeder Vektor x eine eindeutige Darstellung als LK von a1,...,an .

Question

Zeigen Sie: Wenn B =  ⟨a₁,a₂,...,a_n⟩ eine Basis des Vektorraumes V ist, dann
besitzt jeder Vektor x ϵ V eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von
a₁,a₂ ,...,a_n .

Answer 1

hi

weil \( a_1, ...,a_n \) ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist, lässt
sich jedes \( x \in V \) als linearkombination der vektoren \( a_1, ...,a_n \) eindeutig darstellen. sei \( x \in V  \)und  \( x =
\sum_{i=1}^{n}b_ia_i = \sum_{i=1}^{n}c_ia_i,\ mit \ b_i, c_i \in \mathbb{K} \) für alle \( 1<=i<=n  \) . wir zeigen die eindeutigkeit, indem wir zeigen, dass \( b_i = c_i  \)für alle \( 1<=i<=n \) gilt.
$$
x - x = 0 = \sum_{i=1}^{n}b_ia_i = \sum_{i=1}^{n}c_ia_i = \sum_{i=1}^{n}(b_i-c_i)a_i$$
\( a_1, ... a_n \) sind linear unabhängig, der nullvektor ist nur trivial darstellbar. daraus folgt, dass \( b_i - c_i = 0 \) für alle \(1<=i<=n \) ist.

lg